Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70366 / 95984
↖ ↑ ↗
← S 63.840668°
E 13.265991°		 ← 134.62 m → S 63.840668°
E 13.268738°		 →
↑
134.62 m
↓
↑
134.62 m
↓
S 63.841879°
E 13.265991°		 ← 134.62 m →
18 123 m²		 S 63.841879°
E 13.268738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536853790283203 y=0.732303619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536853790283203 × 217)
    floor (0.536853790283203 × 131072)
    floor (70366.5)     		tx = 70366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732303619384766 × 217)
    floor (0.732303619384766 × 131072)
    floor (95984.5)     		ty = 95984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70366 / 95984 ti = "17/70366/95984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70366/95984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70366 ÷ 217
    70366 ÷ 131072     		x = 0.536849975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95984 ÷ 217
    95984 ÷ 131072     		y = 0.7322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536849975585938 × 2 - 1) × π
    0.073699951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23153523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7322998046875 × 2 - 1) × π
    -0.464599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45958271963147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23153523} λ = 0.23153523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45958271963147))-π/2
    2×atan(0.232333202589704)-π/2
    2×0.228283232905713-π/2
    0.456566465811426-1.57079632675     		φ = -1.11422986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23153523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.265991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11422986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.840668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70366 KachelY 95984 0.23153523 -1.11422986 13.265991 -63.840668
    Oben rechts KachelX + 1 70367 KachelY 95984 0.23158316 -1.11422986 13.268738 -63.840668
    Unten links KachelX 70366 KachelY + 1 95985 0.23153523 -1.11425099 13.265991 -63.841879
    Unten rechts KachelX + 1 70367 KachelY + 1 95985 0.23158316 -1.11425099 13.268738 -63.841879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11422986--1.11425099) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dl = 134.619229999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11422986--1.11425099) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dr = 134.619229999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23153523-0.23158316) × cos(-1.11422986) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.440868870123979 × 6371000     		do = 134.624613144869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23153523-0.23158316) × cos(-1.11425099) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.440849904339275 × 6371000     		du = 134.618821714351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11422986)-sin(-1.11425099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440868870123979-0.440849904339275)×R²
    abs(0.23158316-0.23153523)×1.89657847037283e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.89657847037283e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.89657847037283e-05×40589641000000     		ar = 18122.6719422523m²