Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70362 / 95985
↖ ↑ ↗
← S 63.841879°
E 13.255005°		 ← 134.62 m → S 63.841879°
E 13.257751°		 →
↑
134.68 m
↓
↑
134.68 m
↓
S 63.843090°
E 13.255005°		 ← 134.61 m →
18 130 m²		 S 63.843090°
E 13.257751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536823272705078 y=0.732311248779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536823272705078 × 217)
    floor (0.536823272705078 × 131072)
    floor (70362.5)     		tx = 70362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732311248779297 × 217)
    floor (0.732311248779297 × 131072)
    floor (95985.5)     		ty = 95985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70362 / 95985 ti = "17/70362/95985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70362/95985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70362 ÷ 217
    70362 ÷ 131072     		x = 0.536819458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95985 ÷ 217
    95985 ÷ 131072     		y = 0.732307434082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536819458007812 × 2 - 1) × π
    0.073638916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23134348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732307434082031 × 2 - 1) × π
    -0.464614868164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.45963065653109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23134348} λ = 0.23134348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45963065653109))-π/2
    2×atan(0.232322065523234)-π/2
    2×0.228272666189676-π/2
    0.456545332379353-1.57079632675     		φ = -1.11425099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23134348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.255005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11425099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.841879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70362 KachelY 95985 0.23134348 -1.11425099 13.255005 -63.841879
    Oben rechts KachelX + 1 70363 KachelY 95985 0.23139141 -1.11425099 13.257751 -63.841879
    Unten links KachelX 70362 KachelY + 1 95986 0.23134348 -1.11427213 13.255005 -63.843090
    Unten rechts KachelX + 1 70363 KachelY + 1 95986 0.23139141 -1.11427213 13.257751 -63.843090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11425099--1.11427213) × R
    2.11400000000861e-05 × 6371000     		dl = 134.682940000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11425099--1.11427213) × R
    2.11400000000861e-05 × 6371000     		dr = 134.682940000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23134348-0.23139141) × cos(-1.11425099) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.440849904339275 × 6371000     		do = 134.618821714351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23134348-0.23139141) × cos(-1.11427213) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.440830929381841 × 6371000     		du = 134.61302748283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11425099)-sin(-1.11427213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440849904339275-0.440830929381841)×R²
    abs(0.23139141-0.23134348)×1.89749574347475e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.89749574347475e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.89749574347475e-05×40589641000000     		ar = 18130.4684964655m²