Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70354 / 96126
↖ ↑ ↗
← S 64.012089°
E 13.233032°		 ← 133.83 m → S 64.012089°
E 13.235779°		 →
↑
133.79 m
↓
↑
133.79 m
↓
S 64.013293°
E 13.233032°		 ← 133.83 m →
17 905 m²		 S 64.013293°
E 13.235779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536762237548828 y=0.733386993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536762237548828 × 217)
    floor (0.536762237548828 × 131072)
    floor (70354.5)     		tx = 70354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733386993408203 × 217)
    floor (0.733386993408203 × 131072)
    floor (96126.5)     		ty = 96126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70354 / 96126 ti = "17/70354/96126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70354/96126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70354 ÷ 217
    70354 ÷ 131072     		x = 0.536758422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96126 ÷ 217
    96126 ÷ 131072     		y = 0.733383178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536758422851562 × 2 - 1) × π
    0.073516845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23095998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733383178710938 × 2 - 1) × π
    -0.466766357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46638975937752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23095998} λ = 0.23095998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46638975937752))-π/2
    2×atan(0.230757071724008)-π/2
    2×0.226787303761094-π/2
    0.453574607522188-1.57079632675     		φ = -1.11722172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23095998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.233032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11722172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.012089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70354 KachelY 96126 0.23095998 -1.11722172 13.233032 -64.012089
    Oben rechts KachelX + 1 70355 KachelY 96126 0.23100792 -1.11722172 13.235779 -64.012089
    Unten links KachelX 70354 KachelY + 1 96127 0.23095998 -1.11724272 13.233032 -64.013293
    Unten rechts KachelX + 1 70355 KachelY + 1 96127 0.23100792 -1.11724272 13.235779 -64.013293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11722172--1.11724272) × R
    2.09999999998267e-05 × 6371000     		dl = 133.790999998896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11722172--1.11724272) × R
    2.09999999998267e-05 × 6371000     		dr = 133.790999998896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23095998-0.23100792) × cos(-1.11722172) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.438181492635667 × 6371000     		do = 133.831906642543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23095998-0.23100792) × cos(-1.11724272) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.438162615922087 × 6371000     		du = 133.826141208329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11722172)-sin(-1.11724272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438181492635667-0.438162615922087)×R²
    abs(0.23100792-0.23095998)×1.8876713580418e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8876713580418e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8876713580418e-05×40589641000000     		ar = 17905.1189407145m²