Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7035 / 5414
↖ ↑ ↗
← N 51.971346°
W 25.422363°		 ← 1 505.16 m → N 51.971346°
W 25.400391°		 →
↑
1 505.40 m
↓
↑
1 505.40 m
↓
N 51.957807°
W 25.422363°		 ← 1 505.61 m →
2 266 209 m²		 N 51.957807°
W 25.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429412841796875 y=0.330474853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429412841796875 × 214)
    floor (0.429412841796875 × 16384)
    floor (7035.5)     		tx = 7035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330474853515625 × 214)
    floor (0.330474853515625 × 16384)
    floor (5414.5)     		ty = 5414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7035 / 5414 ti = "14/7035/5414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7035/5414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7035 ÷ 214
    7035 ÷ 16384     		x = 0.42938232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5414 ÷ 214
    5414 ÷ 16384     		y = 0.3304443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.1412353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44370394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3304443359375 × 2 - 1) × π
    0.339111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06534965715613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44370394} λ = -0.44370394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06534965715613))-π/2
    2×atan(2.90185346051833)-π/2
    2×1.23893371391658-π/2
    2.47786742783316-1.57079632675     		φ = 0.90707110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44370394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.422363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90707110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.971346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7035 KachelY 5414 -0.44370394 0.90707110 -25.422363 51.971346
    Oben rechts KachelX + 1 7036 KachelY 5414 -0.44332045 0.90707110 -25.400391 51.971346
    Unten links KachelX 7035 KachelY + 1 5415 -0.44370394 0.90683481 -25.422363 51.957807
    Unten rechts KachelX + 1 7036 KachelY + 1 5415 -0.44332045 0.90683481 -25.400391 51.957807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90707110-0.90683481) × R
    0.000236290000000028 × 6371000     		dl = 1505.40359000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90707110-0.90683481) × R
    0.000236290000000028 × 6371000     		dr = 1505.40359000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44370394--0.44332045) × cos(0.90707110) × R
    0.000383490000000042 × 0.616055491192557 × 6371000     		do = 1505.15588754253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44370394--0.44332045) × cos(0.90683481) × R
    0.000383490000000042 × 0.616241600276933 × 6371000     		du = 1505.61059201003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90707110)-sin(0.90683481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616055491192557-0.616241600276933)×R²
    abs(-0.44332045--0.44370394)×0.000186109084375552×R²
    0.000383490000000042×0.000186109084375552×6371000²
    0.000383490000000042×0.000186109084375552×40589641000000     		ar = 2266209.34403021m²