Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7035 / 3685
↖ ↑ ↗
← N 69.862328°
W 25.422363°		 ← 841.14 m → N 69.862328°
W 25.400391°		 →
↑
841.29 m
↓
↑
841.29 m
↓
N 69.854762°
W 25.422363°		 ← 841.45 m →
707 773 m²		 N 69.854762°
W 25.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429412841796875 y=0.224945068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429412841796875 × 214)
    floor (0.429412841796875 × 16384)
    floor (7035.5)     		tx = 7035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224945068359375 × 214)
    floor (0.224945068359375 × 16384)
    floor (3685.5)     		ty = 3685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7035 / 3685 ti = "14/7035/3685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7035/3685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7035 ÷ 214
    7035 ÷ 16384     		x = 0.42938232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3685 ÷ 214
    3685 ÷ 16384     		y = 0.22491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.1412353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44370394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22491455078125 × 2 - 1) × π
    0.5501708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72841285270074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44370394} λ = -0.44370394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72841285270074))-π/2
    2×atan(5.63170846056106)-π/2
    2×1.39506198889193-π/2
    2.79012397778387-1.57079632675     		φ = 1.21932765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44370394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.422363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21932765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.862328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7035 KachelY 3685 -0.44370394 1.21932765 -25.422363 69.862328
    Oben rechts KachelX + 1 7036 KachelY 3685 -0.44332045 1.21932765 -25.400391 69.862328
    Unten links KachelX 7035 KachelY + 1 3686 -0.44370394 1.21919560 -25.422363 69.854762
    Unten rechts KachelX + 1 7036 KachelY + 1 3686 -0.44332045 1.21919560 -25.400391 69.854762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21932765-1.21919560) × R
    0.000132050000000161 × 6371000     		dl = 841.290550001027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21932765-1.21919560) × R
    0.000132050000000161 × 6371000     		dr = 841.290550001027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44370394--0.44332045) × cos(1.21932765) × R
    0.000383490000000042 × 0.344277072047393 × 6371000     		do = 841.142834284177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44370394--0.44332045) × cos(1.21919560) × R
    0.000383490000000042 × 0.344401046577212 × 6371000     		du = 841.445730689015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21932765)-sin(1.21919560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344277072047393-0.344401046577212)×R²
    abs(-0.44332045--0.44370394)×0.000123974529819104×R²
    0.000383490000000042×0.000123974529819104×6371000²
    0.000383490000000042×0.000123974529819104×40589641000000     		ar = 707772.930653541m²