Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7035 / 10865
↖ ↑ ↗
← S 50.527397°
W 25.422363°		 ← 1 553.17 m → S 50.527397°
W 25.400391°		 →
↑
1 552.93 m
↓
↑
1 552.93 m
↓
S 50.541363°
W 25.422363°		 ← 1 552.71 m →
2 411 616 m²		 S 50.541363°
W 25.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429412841796875 y=0.663177490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429412841796875 × 214)
    floor (0.429412841796875 × 16384)
    floor (7035.5)     		tx = 7035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663177490234375 × 214)
    floor (0.663177490234375 × 16384)
    floor (10865.5)     		ty = 10865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7035 / 10865 ti = "14/7035/10865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7035/10865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7035 ÷ 214
    7035 ÷ 16384     		x = 0.42938232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10865 ÷ 214
    10865 ÷ 16384     		y = 0.66314697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.1412353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44370394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.3262939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02508266147528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44370394} λ = -0.44370394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02508266147528))-π/2
    2×atan(0.358766807986576)-π/2
    2×0.344463444979934-π/2
    0.688926889959869-1.57079632675     		φ = -0.88186944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44370394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.422363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88186944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.527397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7035 KachelY 10865 -0.44370394 -0.88186944 -25.422363 -50.527397
    Oben rechts KachelX + 1 7036 KachelY 10865 -0.44332045 -0.88186944 -25.400391 -50.527397
    Unten links KachelX 7035 KachelY + 1 10866 -0.44370394 -0.88211319 -25.422363 -50.541363
    Unten rechts KachelX + 1 7036 KachelY + 1 10866 -0.44332045 -0.88211319 -25.400391 -50.541363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88186944--0.88211319) × R
    0.000243749999999987 × 6371000     		dl = 1552.93124999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88186944--0.88211319) × R
    0.000243749999999987 × 6371000     		dr = 1552.93124999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44370394--0.44332045) × cos(-0.88186944) × R
    0.000383490000000042 × 0.635709181588591 × 6371000     		do = 1553.17407459621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44370394--0.44332045) × cos(-0.88211319) × R
    0.000383490000000042 × 0.635521005097655 × 6371000     		du = 1552.71431901042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88186944)-sin(-0.88211319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635709181588591-0.635521005097655)×R²
    abs(-0.44332045--0.44370394)×0.000188176490936165×R²
    0.000383490000000042×0.000188176490936165×6371000²
    0.000383490000000042×0.000188176490936165×40589641000000     		ar = 2411615.58466273m²