Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70349 / 95569
↖ ↑ ↗
← S 63.333645°
E 13.219299°		 ← 137.04 m → S 63.333645°
E 13.222046°		 →
↑
137.04 m
↓
↑
137.04 m
↓
S 63.334878°
E 13.219299°		 ← 137.04 m →
18 780 m²		 S 63.334878°
E 13.222046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536724090576172 y=0.729137420654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536724090576172 × 217)
    floor (0.536724090576172 × 131072)
    floor (70349.5)     		tx = 70349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729137420654297 × 217)
    floor (0.729137420654297 × 131072)
    floor (95569.5)     		ty = 95569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70349 / 95569 ti = "17/70349/95569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70349/95569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70349 ÷ 217
    70349 ÷ 131072     		x = 0.536720275878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95569 ÷ 217
    95569 ÷ 131072     		y = 0.729133605957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536720275878906 × 2 - 1) × π
    0.0734405517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23072030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729133605957031 × 2 - 1) × π
    -0.458267211914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.43968890628915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23072030} λ = 0.23072030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43968890628915))-π/2
    2×atan(0.237001476883814)-π/2
    2×0.23270784304661-π/2
    0.465415686093221-1.57079632675     		φ = -1.10538064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23072030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.219299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10538064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.333645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70349 KachelY 95569 0.23072030 -1.10538064 13.219299 -63.333645
    Oben rechts KachelX + 1 70350 KachelY 95569 0.23076823 -1.10538064 13.222046 -63.333645
    Unten links KachelX 70349 KachelY + 1 95570 0.23072030 -1.10540215 13.219299 -63.334878
    Unten rechts KachelX + 1 70350 KachelY + 1 95570 0.23076823 -1.10540215 13.222046 -63.334878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10538064--1.10540215) × R
    2.15100000000579e-05 × 6371000     		dl = 137.040210000369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10538064--1.10540215) × R
    2.15100000000579e-05 × 6371000     		dr = 137.040210000369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23072030-0.23076823) × cos(-1.10538064) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.448794312514028 × 6371000     		do = 137.044742321742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23072030-0.23076823) × cos(-1.10540215) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.448775090319528 × 6371000     		du = 137.038872593409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10538064)-sin(-1.10540215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448794312514028-0.448775090319528)×R²
    abs(0.23076823-0.23072030)×1.92221944999571e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.92221944999571e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.92221944999571e-05×40589641000000     		ar = 18780.2380735651m²