Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70346 / 96082
↖ ↑ ↗
← S 63.959085°
E 13.211060°		 ← 134.06 m → S 63.959085°
E 13.213806°		 →
↑
134.05 m
↓
↑
134.05 m
↓
S 63.960291°
E 13.211060°		 ← 134.05 m →
17 970 m²		 S 63.960291°
E 13.213806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536701202392578 y=0.733051300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536701202392578 × 217)
    floor (0.536701202392578 × 131072)
    floor (70346.5)     		tx = 70346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733051300048828 × 217)
    floor (0.733051300048828 × 131072)
    floor (96082.5)     		ty = 96082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70346 / 96082 ti = "17/70346/96082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70346/96082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70346 ÷ 217
    70346 ÷ 131072     		x = 0.536697387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96082 ÷ 217
    96082 ÷ 131072     		y = 0.733047485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536697387695312 × 2 - 1) × π
    0.073394775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23057649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733047485351562 × 2 - 1) × π
    -0.466094970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46428053579424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23057649} λ = 0.23057649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46428053579424))-π/2
    2×atan(0.231244303641589)-π/2
    2×0.227249853412475-π/2
    0.45449970682495-1.57079632675     		φ = -1.11629662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23057649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.211060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11629662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.959085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70346 KachelY 96082 0.23057649 -1.11629662 13.211060 -63.959085
    Oben rechts KachelX + 1 70347 KachelY 96082 0.23062442 -1.11629662 13.213806 -63.959085
    Unten links KachelX 70346 KachelY + 1 96083 0.23057649 -1.11631766 13.211060 -63.960291
    Unten rechts KachelX + 1 70347 KachelY + 1 96083 0.23062442 -1.11631766 13.213806 -63.960291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11629662--1.11631766) × R
    2.10400000000277e-05 × 6371000     		dl = 134.045840000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11629662--1.11631766) × R
    2.10400000000277e-05 × 6371000     		dr = 134.045840000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23057649-0.23062442) × cos(-1.11629662) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.43901286493856 × 6371000     		do = 134.057859633759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23057649-0.23062442) × cos(-1.11631766) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.438993960805868 × 6371000     		du = 134.052087029425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11629662)-sin(-1.11631766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43901286493856-0.438993960805868)×R²
    abs(0.23062442-0.23057649)×1.89041326921768e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.89041326921768e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.89041326921768e-05×40589641000000     		ar = 17969.5115071001m²