Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70324 / 95977
↖ ↑ ↗
← S 63.832191°
E 13.150635°		 ← 134.67 m → S 63.832191°
E 13.153381°		 →
↑
134.68 m
↓
↑
134.68 m
↓
S 63.833402°
E 13.150635°		 ← 134.66 m →
18 137 m²		 S 63.833402°
E 13.153381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536533355712891 y=0.732250213623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536533355712891 × 217)
    floor (0.536533355712891 × 131072)
    floor (70324.5)     		tx = 70324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732250213623047 × 217)
    floor (0.732250213623047 × 131072)
    floor (95977.5)     		ty = 95977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70324 / 95977 ti = "17/70324/95977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70324/95977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70324 ÷ 217
    70324 ÷ 131072     		x = 0.536529541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95977 ÷ 217
    95977 ÷ 131072     		y = 0.732246398925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536529541015625 × 2 - 1) × π
    0.07305908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22952188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732246398925781 × 2 - 1) × π
    -0.464492797851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.45924716133413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22952188} λ = 0.22952188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45924716133413))-π/2
    2×atan(0.23241117700533)-π/2
    2×0.22835721264933-π/2
    0.45671442529866-1.57079632675     		φ = -1.11408190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22952188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.150635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11408190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.832191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70324 KachelY 95977 0.22952188 -1.11408190 13.150635 -63.832191
    Oben rechts KachelX + 1 70325 KachelY 95977 0.22956981 -1.11408190 13.153381 -63.832191
    Unten links KachelX 70324 KachelY + 1 95978 0.22952188 -1.11410304 13.150635 -63.833402
    Unten rechts KachelX + 1 70325 KachelY + 1 95978 0.22956981 -1.11410304 13.153381 -63.833402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11408190--1.11410304) × R
    2.11400000000861e-05 × 6371000     		dl = 134.682940000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11408190--1.11410304) × R
    2.11400000000861e-05 × 6371000     		dr = 134.682940000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22952188-0.22956981) × cos(-1.11408190) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.441001669980289 × 6371000     		do = 134.665165178576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22952188-0.22956981) × cos(-1.11410304) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.440982696598937 × 6371000     		du = 134.65937142833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11408190)-sin(-1.11410304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441001669980289-0.440982696598937)×R²
    abs(0.22956981-0.22952188)×1.89733813518167e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.89733813518167e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.89733813518167e-05×40589641000000     		ar = 18136.7102030022m²