Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70322 / 95967
↖ ↑ ↗
← S 63.820076°
E 13.145142°		 ← 134.75 m → S 63.820076°
E 13.147888°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
S 63.821288°
E 13.145142°		 ← 134.75 m →
18 157 m²		 S 63.821288°
E 13.147888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536518096923828 y=0.732173919677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536518096923828 × 217)
    floor (0.536518096923828 × 131072)
    floor (70322.5)     		tx = 70322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732173919677734 × 217)
    floor (0.732173919677734 × 131072)
    floor (95967.5)     		ty = 95967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70322 / 95967 ti = "17/70322/95967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70322/95967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70322 ÷ 217
    70322 ÷ 131072     		x = 0.536514282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95967 ÷ 217
    95967 ÷ 131072     		y = 0.732170104980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536514282226562 × 2 - 1) × π
    0.073028564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22942600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732170104980469 × 2 - 1) × π
    -0.464340209960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.45876779233793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22942600} λ = 0.22942600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45876779233793))-π/2
    2×atan(0.232522614425645)-π/2
    2×0.228462936653693-π/2
    0.456925873307386-1.57079632675     		φ = -1.11387045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22942600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.145142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11387045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.820076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70322 KachelY 95967 0.22942600 -1.11387045 13.145142 -63.820076
    Oben rechts KachelX + 1 70323 KachelY 95967 0.22947394 -1.11387045 13.147888 -63.820076
    Unten links KachelX 70322 KachelY + 1 95968 0.22942600 -1.11389160 13.145142 -63.821288
    Unten rechts KachelX + 1 70323 KachelY + 1 95968 0.22947394 -1.11389160 13.147888 -63.821288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11387045--1.11389160) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11387045--1.11389160) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22942600-0.22947394) × cos(-1.11387045) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441191437823468 × 6371000     		do = 134.751221378886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22942600-0.22947394) × cos(-1.11389160) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441172457439575 × 6371000     		du = 134.74542428109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11387045)-sin(-1.11389160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441191437823468-0.441172457439575)×R²
    abs(0.22947394-0.22942600)×1.89803838925862e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89803838925862e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89803838925862e-05×40589641000000     		ar = 18156.8850951864m²