Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70320 / 95600
↖ ↑ ↗
← S 63.371832°
E 13.139649°		 ← 136.86 m → S 63.371832°
E 13.142395°		 →
↑
136.85 m
↓
↑
136.85 m
↓
S 63.373063°
E 13.139649°		 ← 136.86 m →
18 729 m²		 S 63.373063°
E 13.142395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536502838134766 y=0.729373931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536502838134766 × 217)
    floor (0.536502838134766 × 131072)
    floor (70320.5)     		tx = 70320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729373931884766 × 217)
    floor (0.729373931884766 × 131072)
    floor (95600.5)     		ty = 95600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70320 / 95600 ti = "17/70320/95600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70320/95600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70320 ÷ 217
    70320 ÷ 131072     		x = 0.5364990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95600 ÷ 217
    95600 ÷ 131072     		y = 0.7293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5364990234375 × 2 - 1) × π
    0.072998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22933013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7293701171875 × 2 - 1) × π
    -0.458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44117495017737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22933013} λ = 0.22933013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44117495017737))-π/2
    2×atan(0.236649543846327)-π/2
    2×0.232374600368121-π/2
    0.464749200736243-1.57079632675     		φ = -1.10604713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22933013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.139649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10604713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.371832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70320 KachelY 95600 0.22933013 -1.10604713 13.139649 -63.371832
    Oben rechts KachelX + 1 70321 KachelY 95600 0.22937806 -1.10604713 13.142395 -63.371832
    Unten links KachelX 70320 KachelY + 1 95601 0.22933013 -1.10606861 13.139649 -63.373063
    Unten rechts KachelX + 1 70321 KachelY + 1 95601 0.22937806 -1.10606861 13.142395 -63.373063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10604713--1.10606861) × R
    2.14799999997961e-05 × 6371000     		dl = 136.849079998701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10604713--1.10606861) × R
    2.14799999997961e-05 × 6371000     		dr = 136.849079998701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22933013-0.22937806) × cos(-1.10604713) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.448198614031139 × 6371000     		do = 136.86283862374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22933013-0.22937806) × cos(-1.10606861) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.448179412225351 × 6371000     		du = 136.856975121344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10604713)-sin(-1.10606861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448198614031139-0.448179412225351)×R²
    abs(0.22937806-0.22933013)×1.92018057879606e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.92018057879606e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.92018057879606e-05×40589641000000     		ar = 18729.1523449798m²