Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7032 / 3686
↖ ↑ ↗
← N 69.854762°
W 25.488281°		 ← 841.47 m → N 69.854762°
W 25.466308°		 →
↑
841.61 m
↓
↑
841.61 m
↓
N 69.847194°
W 25.488281°		 ← 841.77 m →
708 314 m²		 N 69.847194°
W 25.466308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429229736328125 y=0.225006103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429229736328125 × 214)
    floor (0.429229736328125 × 16384)
    floor (7032.5)     		tx = 7032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225006103515625 × 214)
    floor (0.225006103515625 × 16384)
    floor (3686.5)     		ty = 3686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7032 / 3686 ti = "14/7032/3686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7032/3686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7032 ÷ 214
    7032 ÷ 16384     		x = 0.42919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3686 ÷ 214
    3686 ÷ 16384     		y = 0.2249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42919921875 × 2 - 1) × π
    -0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2249755859375 × 2 - 1) × π
    0.550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72802935750378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44485443} λ = -0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72802935750378))-π/2
    2×atan(5.62954914148647)-π/2
    2×1.39499596270483-π/2
    2.78999192540966-1.57079632675     		φ = 1.21919560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21919560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.854762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7032 KachelY 3686 -0.44485443 1.21919560 -25.488281 69.854762
    Oben rechts KachelX + 1 7033 KachelY 3686 -0.44447093 1.21919560 -25.466308 69.854762
    Unten links KachelX 7032 KachelY + 1 3687 -0.44485443 1.21906350 -25.488281 69.847194
    Unten rechts KachelX + 1 7033 KachelY + 1 3687 -0.44447093 1.21906350 -25.466308 69.847194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21919560-1.21906350) × R
    0.000132099999999857 × 6371000     		dl = 841.609099999091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21919560-1.21906350) × R
    0.000132099999999857 × 6371000     		dr = 841.609099999091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44485443--0.44447093) × cos(1.21919560) × R
    0.000383500000000037 × 0.344401046577212 × 6371000     		do = 841.46767247968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44485443--0.44447093) × cos(1.21906350) × R
    0.000383500000000037 × 0.344525062040496 × 6371000     		du = 841.770676794791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21919560)-sin(1.21906350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344401046577212-0.344525062040496)×R²
    abs(-0.44447093--0.44485443)×0.000124015463284555×R²
    0.000383500000000037×0.000124015463284555×6371000²
    0.000383500000000037×0.000124015463284555×40589641000000     		ar = 708314.357139073m²