Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70315 / 95963
↖ ↑ ↗
← S 63.815228°
E 13.125915°		 ← 134.77 m → S 63.815228°
E 13.128662°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
S 63.816440°
E 13.125915°		 ← 134.77 m →
18 160 m²		 S 63.816440°
E 13.128662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536464691162109 y=0.732143402099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536464691162109 × 217)
    floor (0.536464691162109 × 131072)
    floor (70315.5)     		tx = 70315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732143402099609 × 217)
    floor (0.732143402099609 × 131072)
    floor (95963.5)     		ty = 95963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70315 / 95963 ti = "17/70315/95963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70315/95963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70315 ÷ 217
    70315 ÷ 131072     		x = 0.536460876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95963 ÷ 217
    95963 ÷ 131072     		y = 0.732139587402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536460876464844 × 2 - 1) × π
    0.0729217529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22909044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732139587402344 × 2 - 1) × π
    -0.464279174804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.45857604473945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22909044} λ = 0.22909044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45857604473945))-π/2
    2×atan(0.232567204353423)-π/2
    2×0.2285052389922-π/2
    0.4570104779844-1.57079632675     		φ = -1.11378585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22909044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.125915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11378585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.815228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70315 KachelY 95963 0.22909044 -1.11378585 13.125915 -63.815228
    Oben rechts KachelX + 1 70316 KachelY 95963 0.22913838 -1.11378585 13.128662 -63.815228
    Unten links KachelX 70315 KachelY + 1 95964 0.22909044 -1.11380700 13.125915 -63.816440
    Unten rechts KachelX + 1 70316 KachelY + 1 95964 0.22913838 -1.11380700 13.128662 -63.816440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11378585--1.11380700) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11378585--1.11380700) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22909044-0.22913838) × cos(-1.11378585) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441267357385405 × 6371000     		do = 134.774409167271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22909044-0.22913838) × cos(-1.11380700) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441248377790982 × 6371000     		du = 134.7686123106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11378585)-sin(-1.11380700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441267357385405-0.441248377790982)×R²
    abs(0.22913838-0.22909044)×1.89795944222637e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89795944222637e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89795944222637e-05×40589641000000     		ar = 18160.0095880978m²