Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70313 / 96153
↖ ↑ ↗
← S 64.044565°
E 13.120422°		 ← 133.68 m → S 64.044565°
E 13.123169°		 →
↑
133.66 m
↓
↑
133.66 m
↓
S 64.045767°
E 13.120422°		 ← 133.67 m →
17 867 m²		 S 64.045767°
E 13.123169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536449432373047 y=0.733592987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536449432373047 × 217)
    floor (0.536449432373047 × 131072)
    floor (70313.5)     		tx = 70313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733592987060547 × 217)
    floor (0.733592987060547 × 131072)
    floor (96153.5)     		ty = 96153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70313 / 96153 ti = "17/70313/96153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70313/96153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70313 ÷ 217
    70313 ÷ 131072     		x = 0.536445617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96153 ÷ 217
    96153 ÷ 131072     		y = 0.733589172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536445617675781 × 2 - 1) × π
    0.0728912353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22899457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733589172363281 × 2 - 1) × π
    -0.467178344726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.46768405566726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22899457} λ = 0.22899457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46768405566726))-π/2
    2×atan(0.230458596901339)-π/2
    2×0.22650390032714-π/2
    0.453007800654279-1.57079632675     		φ = -1.11778853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22899457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.120422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11778853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.044565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70313 KachelY 96153 0.22899457 -1.11778853 13.120422 -64.044565
    Oben rechts KachelX + 1 70314 KachelY 96153 0.22904251 -1.11778853 13.123169 -64.044565
    Unten links KachelX 70313 KachelY + 1 96154 0.22899457 -1.11780951 13.120422 -64.045767
    Unten rechts KachelX + 1 70314 KachelY + 1 96154 0.22904251 -1.11780951 13.123169 -64.045767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11778853--1.11780951) × R
    2.09800000001703e-05 × 6371000     		dl = 133.663580001085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11778853--1.11780951) × R
    2.09800000001703e-05 × 6371000     		dr = 133.663580001085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22899457-0.22904251) × cos(-1.11778853) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.437671924405324 × 6371000     		do = 133.67627138871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22899457-0.22904251) × cos(-1.11780951) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.437653060462088 × 6371000     		du = 133.670509854888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11778853)-sin(-1.11780951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437671924405324-0.437653060462088)×R²
    abs(0.22904251-0.22899457)×1.88639432359139e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88639432359139e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88639432359139e-05×40589641000000     		ar = 17867.2639421764m²