Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70310 / 95960
↖ ↑ ↗
← S 63.811592°
E 13.112183°		 ← 134.79 m → S 63.811592°
E 13.114929°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
S 63.812804°
E 13.112183°		 ← 134.79 m →
18 162 m²		 S 63.812804°
E 13.114929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536426544189453 y=0.732120513916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536426544189453 × 217)
    floor (0.536426544189453 × 131072)
    floor (70310.5)     		tx = 70310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732120513916016 × 217)
    floor (0.732120513916016 × 131072)
    floor (95960.5)     		ty = 95960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70310 / 95960 ti = "17/70310/95960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70310/95960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70310 ÷ 217
    70310 ÷ 131072     		x = 0.536422729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95960 ÷ 217
    95960 ÷ 131072     		y = 0.73211669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536422729492188 × 2 - 1) × π
    0.072845458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22885076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73211669921875 × 2 - 1) × π
    -0.4642333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45843223404059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22885076} λ = 0.22885076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45843223404059))-π/2
    2×atan(0.23260065241065)-π/2
    2×0.228536970523249-π/2
    0.457073941046497-1.57079632675     		φ = -1.11372239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22885076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.112183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11372239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.811592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70310 KachelY 95960 0.22885076 -1.11372239 13.112183 -63.811592
    Oben rechts KachelX + 1 70311 KachelY 95960 0.22889870 -1.11372239 13.114929 -63.811592
    Unten links KachelX 70310 KachelY + 1 95961 0.22885076 -1.11374354 13.112183 -63.812804
    Unten rechts KachelX + 1 70311 KachelY + 1 95961 0.22889870 -1.11374354 13.114929 -63.812804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11372239--1.11374354) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11372239--1.11374354) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22885076-0.22889870) × cos(-1.11372239) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.441324303957781 × 6371000     		do = 134.791802116358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22885076-0.22889870) × cos(-1.11374354) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.441305324955644 × 6371000     		du = 134.786005440586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11372239)-sin(-1.11374354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441324303957781-0.441305324955644)×R²
    abs(0.22889870-0.22885076)×1.89790021369873e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89790021369873e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89790021369873e-05×40589641000000     		ar = 18162.3532420395m²