Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7031 / 3732
↖ ↑ ↗
← N 69.503765°
W 25.510254°		 ← 855.48 m → N 69.503765°
W 25.488281°		 →
↑
855.69 m
↓
↑
855.69 m
↓
N 69.496070°
W 25.510254°		 ← 855.79 m →
732 158 m²		 N 69.496070°
W 25.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429168701171875 y=0.227813720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429168701171875 × 214)
    floor (0.429168701171875 × 16384)
    floor (7031.5)     		tx = 7031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227813720703125 × 214)
    floor (0.227813720703125 × 16384)
    floor (3732.5)     		ty = 3732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7031 / 3732 ti = "14/7031/3732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7031/3732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7031 ÷ 214
    7031 ÷ 16384     		x = 0.42913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3732 ÷ 214
    3732 ÷ 16384     		y = 0.227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42913818359375 × 2 - 1) × π
    -0.1417236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44523792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227783203125 × 2 - 1) × π
    0.54443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7103885784436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44523792} λ = -0.44523792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7103885784436))-π/2
    2×atan(5.53111033034161)-π/2
    2×1.39193293598734-π/2
    2.78386587197468-1.57079632675     		φ = 1.21306955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44523792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21306955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.503765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7031 KachelY 3732 -0.44523792 1.21306955 -25.510254 69.503765
    Oben rechts KachelX + 1 7032 KachelY 3732 -0.44485443 1.21306955 -25.488281 69.503765
    Unten links KachelX 7031 KachelY + 1 3733 -0.44523792 1.21293524 -25.510254 69.496070
    Unten rechts KachelX + 1 7032 KachelY + 1 3733 -0.44485443 1.21293524 -25.488281 69.496070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21306955-1.21293524) × R
    0.000134309999999971 × 6371000     		dl = 855.689009999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21306955-1.21293524) × R
    0.000134309999999971 × 6371000     		dr = 855.689009999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44523792--0.44485443) × cos(1.21306955) × R
    0.000383489999999986 × 0.350145822534387 × 6371000     		do = 855.481452272698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44523792--0.44485443) × cos(1.21293524) × R
    0.000383489999999986 × 0.350271626908526 × 6371000     		du = 855.788819380243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21306955)-sin(1.21293524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350145822534387-0.350271626908526)×R²
    abs(-0.44485443--0.44523792)×0.000125804374139671×R²
    0.000383489999999986×0.000125804374139671×6371000²
    0.000383489999999986×0.000125804374139671×40589641000000     		ar = 732157.583397164m²