Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7031 / 3731
↖ ↑ ↗
← N 69.511457°
W 25.510254°		 ← 855.17 m → N 69.511457°
W 25.488281°		 →
↑
855.31 m
↓
↑
855.31 m
↓
N 69.503765°
W 25.510254°		 ← 855.48 m →
731 568 m²		 N 69.503765°
W 25.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429168701171875 y=0.227752685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429168701171875 × 214)
    floor (0.429168701171875 × 16384)
    floor (7031.5)     		tx = 7031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227752685546875 × 214)
    floor (0.227752685546875 × 16384)
    floor (3731.5)     		ty = 3731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7031 / 3731 ti = "14/7031/3731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7031/3731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7031 ÷ 214
    7031 ÷ 16384     		x = 0.42913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3731 ÷ 214
    3731 ÷ 16384     		y = 0.22772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42913818359375 × 2 - 1) × π
    -0.1417236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44523792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22772216796875 × 2 - 1) × π
    0.5445556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71077207364056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44523792} λ = -0.44523792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71077207364056))-π/2
    2×atan(5.53323189136538)-π/2
    2×1.39200006355115-π/2
    2.78400012710231-1.57079632675     		φ = 1.21320380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44523792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21320380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.511457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7031 KachelY 3731 -0.44523792 1.21320380 -25.510254 69.511457
    Oben rechts KachelX + 1 7032 KachelY 3731 -0.44485443 1.21320380 -25.488281 69.511457
    Unten links KachelX 7031 KachelY + 1 3732 -0.44523792 1.21306955 -25.510254 69.503765
    Unten rechts KachelX + 1 7032 KachelY + 1 3732 -0.44485443 1.21306955 -25.488281 69.503765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21320380-1.21306955) × R
    0.000134250000000113 × 6371000     		dl = 855.306750000723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21320380-1.21306955) × R
    0.000134250000000113 × 6371000     		dr = 855.306750000723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44523792--0.44485443) × cos(1.21320380) × R
    0.000383489999999986 × 0.350020068048437 × 6371000     		do = 855.174207052719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44523792--0.44485443) × cos(1.21306955) × R
    0.000383489999999986 × 0.350145822534387 × 6371000     		du = 855.481452272698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21320380)-sin(1.21306955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350020068048437-0.350145822534387)×R²
    abs(-0.44485443--0.44523792)×0.000125754485949203×R²
    0.000383489999999986×0.000125754485949203×6371000²
    0.000383489999999986×0.000125754485949203×40589641000000     		ar = 731567.667272271m²