Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70309 / 95959
↖ ↑ ↗
← S 63.810380°
E 13.109436°		 ← 134.80 m → S 63.810380°
E 13.112183°		 →
↑
134.81 m
↓
↑
134.81 m
↓
S 63.811592°
E 13.109436°		 ← 134.79 m →
18 172 m²		 S 63.811592°
E 13.112183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536418914794922 y=0.732112884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536418914794922 × 217)
    floor (0.536418914794922 × 131072)
    floor (70309.5)     		tx = 70309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732112884521484 × 217)
    floor (0.732112884521484 × 131072)
    floor (95959.5)     		ty = 95959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70309 / 95959 ti = "17/70309/95959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70309/95959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70309 ÷ 217
    70309 ÷ 131072     		x = 0.536415100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95959 ÷ 217
    95959 ÷ 131072     		y = 0.732109069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536415100097656 × 2 - 1) × π
    0.0728302001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22880282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732109069824219 × 2 - 1) × π
    -0.464218139648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.45838429714097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22880282} λ = 0.22880282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45838429714097))-π/2
    2×atan(0.232611802832032)-π/2
    2×0.228547548610281-π/2
    0.457095097220562-1.57079632675     		φ = -1.11370123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22880282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.109436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11370123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.810380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70309 KachelY 95959 0.22880282 -1.11370123 13.109436 -63.810380
    Oben rechts KachelX + 1 70310 KachelY 95959 0.22885076 -1.11370123 13.112183 -63.810380
    Unten links KachelX 70309 KachelY + 1 95960 0.22880282 -1.11372239 13.109436 -63.811592
    Unten rechts KachelX + 1 70310 KachelY + 1 95960 0.22885076 -1.11372239 13.112183 -63.811592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11370123--1.11372239) × R
    2.11599999999645e-05 × 6371000     		dl = 134.810359999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11370123--1.11372239) × R
    2.11599999999645e-05 × 6371000     		dr = 134.810359999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22880282-0.22885076) × cos(-1.11370123) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441343291735887 × 6371000     		do = 134.797601472459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22880282-0.22885076) × cos(-1.11372239) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441324303957781 × 6371000     		du = 134.79180211628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11370123)-sin(-1.11372239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441343291735887-0.441324303957781)×R²
    abs(0.22885076-0.22880282)×1.89877781061054e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89877781061054e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89877781061054e-05×40589641000000     		ar = 18171.7222756337m²