Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70307 / 95981
↖ ↑ ↗
← S 63.837036°
E 13.103943°		 ← 134.64 m → S 63.837036°
E 13.106689°		 →
↑
134.62 m
↓
↑
134.62 m
↓
S 63.838246°
E 13.103943°		 ← 134.64 m →
18 125 m²		 S 63.838246°
E 13.106689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536403656005859 y=0.732280731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536403656005859 × 217)
    floor (0.536403656005859 × 131072)
    floor (70307.5)     		tx = 70307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732280731201172 × 217)
    floor (0.732280731201172 × 131072)
    floor (95981.5)     		ty = 95981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70307 / 95981 ti = "17/70307/95981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70307/95981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70307 ÷ 217
    70307 ÷ 131072     		x = 0.536399841308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95981 ÷ 217
    95981 ÷ 131072     		y = 0.732276916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536399841308594 × 2 - 1) × π
    0.0727996826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22870695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732276916503906 × 2 - 1) × π
    -0.464553833007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.45943890893261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22870695} λ = 0.22870695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45943890893261))-π/2
    2×atan(0.232366616992554)-π/2
    2×0.228314935781853-π/2
    0.456629871563707-1.57079632675     		φ = -1.11416646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22870695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.103943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11416646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.837036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70307 KachelY 95981 0.22870695 -1.11416646 13.103943 -63.837036
    Oben rechts KachelX + 1 70308 KachelY 95981 0.22875488 -1.11416646 13.106689 -63.837036
    Unten links KachelX 70307 KachelY + 1 95982 0.22870695 -1.11418759 13.103943 -63.838246
    Unten rechts KachelX + 1 70308 KachelY + 1 95982 0.22875488 -1.11418759 13.106689 -63.838246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11416646--1.11418759) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dl = 134.619229999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11416646--1.11418759) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dr = 134.619229999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22870695-0.22875488) × cos(-1.11416646) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.440925775272466 × 6371000     		do = 134.641989816528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22870695-0.22875488) × cos(-1.11418759) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.440906810078394 × 6371000     		du = 134.636198566367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11416646)-sin(-1.11418759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440925775272466-0.440906810078394)×R²
    abs(0.22875488-0.22870695)×1.89651940718516e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.89651940718516e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.89651940718516e-05×40589641000000     		ar = 18125.0111883956m²