Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70301 / 96155
↖ ↑ ↗
← S 64.046969°
E 13.087464°		 ← 133.64 m → S 64.046969°
E 13.090210°		 →
↑
133.60 m
↓
↑
133.60 m
↓
S 64.048171°
E 13.087464°		 ← 133.63 m →
17 853 m²		 S 64.048171°
E 13.090210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536357879638672 y=0.733608245849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536357879638672 × 217)
    floor (0.536357879638672 × 131072)
    floor (70301.5)     		tx = 70301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733608245849609 × 217)
    floor (0.733608245849609 × 131072)
    floor (96155.5)     		ty = 96155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70301 / 96155 ti = "17/70301/96155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70301/96155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70301 ÷ 217
    70301 ÷ 131072     		x = 0.536354064941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96155 ÷ 217
    96155 ÷ 131072     		y = 0.733604431152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536354064941406 × 2 - 1) × π
    0.0727081298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22841933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733604431152344 × 2 - 1) × π
    -0.467208862304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.4677799294665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22841933} λ = 0.22841933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4677799294665))-π/2
    2×atan(0.230436503019215)-π/2
    2×0.226482920596149-π/2
    0.452965841192297-1.57079632675     		φ = -1.11783049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22841933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.087464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11783049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.046969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70301 KachelY 96155 0.22841933 -1.11783049 13.087464 -64.046969
    Oben rechts KachelX + 1 70302 KachelY 96155 0.22846726 -1.11783049 13.090210 -64.046969
    Unten links KachelX 70301 KachelY + 1 96156 0.22841933 -1.11785146 13.087464 -64.048171
    Unten rechts KachelX + 1 70302 KachelY + 1 96156 0.22846726 -1.11785146 13.090210 -64.048171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11783049--1.11785146) × R
    2.0970000000009e-05 × 6371000     		dl = 133.599870000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11783049--1.11785146) × R
    2.0970000000009e-05 × 6371000     		dr = 133.599870000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22841933-0.22846726) × cos(-1.11783049) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.437634196326214 × 6371000     		do = 133.636866587596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22841933-0.22846726) × cos(-1.11785146) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.437615340989335 × 6371000     		du = 133.63110888365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11783049)-sin(-1.11785146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437634196326214-0.437615340989335)×R²
    abs(0.22846726-0.22841933)×1.88553368796751e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.88553368796751e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.88553368796751e-05×40589641000000     		ar = 17853.4833897914m²