Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70300 / 96154
↖ ↑ ↗
← S 64.045767°
E 13.084717°		 ← 133.67 m → S 64.045767°
E 13.087464°		 →
↑
133.66 m
↓
↑
133.66 m
↓
S 64.046969°
E 13.084717°		 ← 133.66 m →
17 866 m²		 S 64.046969°
E 13.087464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536350250244141 y=0.733600616455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536350250244141 × 217)
    floor (0.536350250244141 × 131072)
    floor (70300.5)     		tx = 70300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733600616455078 × 217)
    floor (0.733600616455078 × 131072)
    floor (96154.5)     		ty = 96154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70300 / 96154 ti = "17/70300/96154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70300/96154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70300 ÷ 217
    70300 ÷ 131072     		x = 0.536346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96154 ÷ 217
    96154 ÷ 131072     		y = 0.733596801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536346435546875 × 2 - 1) × π
    0.07269287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22837139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733596801757812 × 2 - 1) × π
    -0.467193603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46773199256688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22837139} λ = 0.22837139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46773199256688))-π/2
    2×atan(0.230447549695499)-π/2
    2×0.226493410235576-π/2
    0.452986820471152-1.57079632675     		φ = -1.11780951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22837139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11780951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.045767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70300 KachelY 96154 0.22837139 -1.11780951 13.084717 -64.045767
    Oben rechts KachelX + 1 70301 KachelY 96154 0.22841933 -1.11780951 13.087464 -64.045767
    Unten links KachelX 70300 KachelY + 1 96155 0.22837139 -1.11783049 13.084717 -64.046969
    Unten rechts KachelX + 1 70301 KachelY + 1 96155 0.22841933 -1.11783049 13.087464 -64.046969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11780951--1.11783049) × R
    2.09799999999483e-05 × 6371000     		dl = 133.66357999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11780951--1.11783049) × R
    2.09799999999483e-05 × 6371000     		dr = 133.66357999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22837139-0.22841933) × cos(-1.11780951) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.437653060462088 × 6371000     		do = 133.670509854888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22837139-0.22841933) × cos(-1.11783049) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.437634196326214 × 6371000     		du = 133.664748262229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11780951)-sin(-1.11783049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437653060462088-0.437634196326214)×R²
    abs(0.22841933-0.22837139)×1.88641358732089e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88641358732089e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88641358732089e-05×40589641000000     		ar = 17866.4938306142m²