Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7030 / 5429
↖ ↑ ↗
← N 51.767840°
W 25.532227°		 ← 1 512.02 m → N 51.767840°
W 25.510254°		 →
↑
1 512.22 m
↓
↑
1 512.22 m
↓
N 51.754240°
W 25.532227°		 ← 1 512.48 m →
2 286 854 m²		 N 51.754240°
W 25.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429107666015625 y=0.331390380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429107666015625 × 214)
    floor (0.429107666015625 × 16384)
    floor (7030.5)     		tx = 7030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331390380859375 × 214)
    floor (0.331390380859375 × 16384)
    floor (5429.5)     		ty = 5429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7030 / 5429 ti = "14/7030/5429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7030/5429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7030 ÷ 214
    7030 ÷ 16384     		x = 0.4290771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5429 ÷ 214
    5429 ÷ 16384     		y = 0.33135986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4290771484375 × 2 - 1) × π
    -0.141845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44562142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33135986328125 × 2 - 1) × π
    0.3372802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05959722920172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44562142} λ = -0.44562142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05959722920172))-π/2
    2×atan(2.88520867740883)-π/2
    2×1.23715778972759-π/2
    2.47431557945518-1.57079632675     		φ = 0.90351925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44562142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90351925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.767840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7030 KachelY 5429 -0.44562142 0.90351925 -25.532227 51.767840
    Oben rechts KachelX + 1 7031 KachelY 5429 -0.44523792 0.90351925 -25.510254 51.767840
    Unten links KachelX 7030 KachelY + 1 5430 -0.44562142 0.90328189 -25.532227 51.754240
    Unten rechts KachelX + 1 7031 KachelY + 1 5430 -0.44523792 0.90328189 -25.510254 51.754240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90351925-0.90328189) × R
    0.000237359999999964 × 6371000     		dl = 1512.22055999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90351925-0.90328189) × R
    0.000237359999999964 × 6371000     		dr = 1512.22055999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44562142--0.44523792) × cos(0.90351925) × R
    0.000383499999999981 × 0.618849401381119 × 6371000     		do = 1512.02143713228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44562142--0.44523792) × cos(0.90328189) × R
    0.000383499999999981 × 0.61903583251821 × 6371000     		du = 1512.47694032127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90351925)-sin(0.90328189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618849401381119-0.61903583251821)×R²
    abs(-0.44523792--0.44562142)×0.000186431137090826×R²
    0.000383499999999981×0.000186431137090826×6371000²
    0.000383499999999981×0.000186431137090826×40589641000000     		ar = 2286854.32577193m²