Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7030 / 2061
↖ ↑ ↗
← N 79.117538°
W 25.532227°		 ← 461.28 m → N 79.117538°
W 25.510254°		 →
↑
461.39 m
↓
↑
461.39 m
↓
N 79.113389°
W 25.532227°		 ← 461.45 m →
212 868 m²		 N 79.113389°
W 25.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429107666015625 y=0.125823974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429107666015625 × 214)
    floor (0.429107666015625 × 16384)
    floor (7030.5)     		tx = 7030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125823974609375 × 214)
    floor (0.125823974609375 × 16384)
    floor (2061.5)     		ty = 2061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7030 / 2061 ti = "14/7030/2061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7030/2061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7030 ÷ 214
    7030 ÷ 16384     		x = 0.4290771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2061 ÷ 214
    2061 ÷ 16384     		y = 0.12579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4290771484375 × 2 - 1) × π
    -0.141845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44562142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12579345703125 × 2 - 1) × π
    0.7484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35120905256451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44562142} λ = -0.44562142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35120905256451))-π/2
    2×atan(10.4982549967287)-π/2
    2×1.47582893244571-π/2
    2.95165786489142-1.57079632675     		φ = 1.38086154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44562142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38086154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.117538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7030 KachelY 2061 -0.44562142 1.38086154 -25.532227 79.117538
    Oben rechts KachelX + 1 7031 KachelY 2061 -0.44523792 1.38086154 -25.510254 79.117538
    Unten links KachelX 7030 KachelY + 1 2062 -0.44562142 1.38078912 -25.532227 79.113389
    Unten rechts KachelX + 1 7031 KachelY + 1 2062 -0.44523792 1.38078912 -25.510254 79.113389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38086154-1.38078912) × R
    7.2419999999962e-05 × 6371000     		dl = 461.387819999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38086154-1.38078912) × R
    7.2419999999962e-05 × 6371000     		dr = 461.387819999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44562142--0.44523792) × cos(1.38086154) × R
    0.000383499999999981 × 0.188794854931363 × 6371000     		do = 461.278409964395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44562142--0.44523792) × cos(1.38078912) × R
    0.000383499999999981 × 0.188865972074706 × 6371000     		du = 461.452168951707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38086154)-sin(1.38078912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188794854931363-0.188865972074706)×R²
    abs(-0.44523792--0.44562142)×7.11171433432356e-05×R²
    0.000383499999999981×7.11171433432356e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.11171433432356e-05×40589641000000     		ar = 212868.325219959m²