Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7030 / 10862
↖ ↑ ↗
← S 50.485474°
W 25.532227°		 ← 1 554.59 m → S 50.485474°
W 25.510254°		 →
↑
1 554.33 m
↓
↑
1 554.33 m
↓
S 50.499452°
W 25.532227°		 ← 1 554.13 m →
2 415 999 m²		 S 50.499452°
W 25.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429107666015625 y=0.662994384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429107666015625 × 214)
    floor (0.429107666015625 × 16384)
    floor (7030.5)     		tx = 7030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662994384765625 × 214)
    floor (0.662994384765625 × 16384)
    floor (10862.5)     		ty = 10862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7030 / 10862 ti = "14/7030/10862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7030/10862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7030 ÷ 214
    7030 ÷ 16384     		x = 0.4290771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10862 ÷ 214
    10862 ÷ 16384     		y = 0.6629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4290771484375 × 2 - 1) × π
    -0.141845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44562142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.325927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0239321758844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44562142} λ = -0.44562142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0239321758844))-π/2
    2×atan(0.359179801555672)-π/2
    2×0.344829294505537-π/2
    0.689658589011074-1.57079632675     		φ = -0.88113774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44562142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88113774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.485474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7030 KachelY 10862 -0.44562142 -0.88113774 -25.532227 -50.485474
    Oben rechts KachelX + 1 7031 KachelY 10862 -0.44523792 -0.88113774 -25.510254 -50.485474
    Unten links KachelX 7030 KachelY + 1 10863 -0.44562142 -0.88138171 -25.532227 -50.499452
    Unten rechts KachelX + 1 7031 KachelY + 1 10863 -0.44523792 -0.88138171 -25.510254 -50.499452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88113774--0.88138171) × R
    0.000243969999999982 × 6371000     		dl = 1554.33286999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88113774--0.88138171) × R
    0.000243969999999982 × 6371000     		dr = 1554.33286999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44562142--0.44523792) × cos(-0.88113774) × R
    0.000383499999999981 × 0.636273831554846 × 6371000     		do = 1554.5941727505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44562142--0.44523792) × cos(-0.88138171) × R
    0.000383499999999981 × 0.636085598721362 × 6371000     		du = 1554.13426751546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88113774)-sin(-0.88138171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636273831554846-0.636085598721362)×R²
    abs(-0.44523792--0.44562142)×0.00018823283348357×R²
    0.000383499999999981×0.00018823283348357×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018823283348357×40589641000000     		ar = 2415999.41128924m²