Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70291 / 95979
↖ ↑ ↗
← S 63.834613°
E 13.059998°		 ← 134.65 m → S 63.834613°
E 13.062744°		 →
↑
134.68 m
↓
↑
134.68 m
↓
S 63.835825°
E 13.059998°		 ← 134.65 m →
18 135 m²		 S 63.835825°
E 13.062744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536281585693359 y=0.732265472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536281585693359 × 217)
    floor (0.536281585693359 × 131072)
    floor (70291.5)     		tx = 70291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732265472412109 × 217)
    floor (0.732265472412109 × 131072)
    floor (95979.5)     		ty = 95979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70291 / 95979 ti = "17/70291/95979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70291/95979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70291 ÷ 217
    70291 ÷ 131072     		x = 0.536277770996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95979 ÷ 217
    95979 ÷ 131072     		y = 0.732261657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536277770996094 × 2 - 1) × π
    0.0725555419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22793996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732261657714844 × 2 - 1) × π
    -0.464523315429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.45934303513337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22793996} λ = 0.22793996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45934303513337))-π/2
    2×atan(0.232388895930908)-π/2
    2×0.22833607330612-π/2
    0.45667214661224-1.57079632675     		φ = -1.11412418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22793996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.059998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11412418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.834613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70291 KachelY 95979 0.22793996 -1.11412418 13.059998 -63.834613
    Oben rechts KachelX + 1 70292 KachelY 95979 0.22798789 -1.11412418 13.062744 -63.834613
    Unten links KachelX 70291 KachelY + 1 95980 0.22793996 -1.11414532 13.059998 -63.835825
    Unten rechts KachelX + 1 70292 KachelY + 1 95980 0.22798789 -1.11414532 13.062744 -63.835825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11412418--1.11414532) × R
    2.11400000000861e-05 × 6371000     		dl = 134.682940000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11412418--1.11414532) × R
    2.11400000000861e-05 × 6371000     		dr = 134.682940000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22793996-0.22798789) × cos(-1.11412418) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.44096372302051 × 6371000     		do = 134.653577617905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22793996-0.22798789) × cos(-1.11414532) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.440944749245017 × 6371000     		du = 134.647783747304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11412418)-sin(-1.11414532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44096372302051-0.440944749245017)×R²
    abs(0.22798789-0.22793996)×1.89737754933139e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.89737754933139e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.89737754933139e-05×40589641000000     		ar = 18135.149548013m²