Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70291 / 95763
↖ ↑ ↗
← S 63.571788°
E 13.059998°		 ← 135.91 m → S 63.571788°
E 13.062744°		 →
↑
135.96 m
↓
↑
135.96 m
↓
S 63.573011°
E 13.059998°		 ← 135.90 m →
18 477 m²		 S 63.573011°
E 13.062744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536281585693359 y=0.730617523193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536281585693359 × 217)
    floor (0.536281585693359 × 131072)
    floor (70291.5)     		tx = 70291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730617523193359 × 217)
    floor (0.730617523193359 × 131072)
    floor (95763.5)     		ty = 95763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70291 / 95763 ti = "17/70291/95763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70291/95763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70291 ÷ 217
    70291 ÷ 131072     		x = 0.536277770996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95763 ÷ 217
    95763 ÷ 131072     		y = 0.730613708496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536277770996094 × 2 - 1) × π
    0.0725555419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22793996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730613708496094 × 2 - 1) × π
    -0.461227416992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.44898866481544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22793996} λ = 0.22793996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44898866481544))-π/2
    2×atan(0.234807637278961)-π/2
    2×0.230629657140358-π/2
    0.461259314280716-1.57079632675     		φ = -1.10953701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22793996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.059998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10953701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.571788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70291 KachelY 95763 0.22793996 -1.10953701 13.059998 -63.571788
    Oben rechts KachelX + 1 70292 KachelY 95763 0.22798789 -1.10953701 13.062744 -63.571788
    Unten links KachelX 70291 KachelY + 1 95764 0.22793996 -1.10955835 13.059998 -63.573011
    Unten rechts KachelX + 1 70292 KachelY + 1 95764 0.22798789 -1.10955835 13.062744 -63.573011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10953701--1.10955835) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10953701--1.10955835) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22793996-0.22798789) × cos(-1.10953701) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.445076168602611 × 6371000     		do = 135.90936234912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22793996-0.22798789) × cos(-1.10955835) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.445057058686714 × 6371000     		du = 135.903526906409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10953701)-sin(-1.10955835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445076168602611-0.445057058686714)×R²
    abs(0.22798789-0.22793996)×1.91099158976527e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91099158976527e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91099158976527e-05×40589641000000     		ar = 18477.4515199401m²