Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70290 / 95980
↖ ↑ ↗
← S 63.835825°
E 13.057251°		 ← 134.68 m → S 63.835825°
E 13.059998°		 →
↑
134.68 m
↓
↑
134.68 m
↓
S 63.837036°
E 13.057251°		 ← 134.67 m →
18 138 m²		 S 63.837036°
E 13.059998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536273956298828 y=0.732273101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536273956298828 × 217)
    floor (0.536273956298828 × 131072)
    floor (70290.5)     		tx = 70290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732273101806641 × 217)
    floor (0.732273101806641 × 131072)
    floor (95980.5)     		ty = 95980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70290 / 95980 ti = "17/70290/95980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70290/95980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70290 ÷ 217
    70290 ÷ 131072     		x = 0.536270141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95980 ÷ 217
    95980 ÷ 131072     		y = 0.732269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536270141601562 × 2 - 1) × π
    0.072540283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22789202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732269287109375 × 2 - 1) × π
    -0.46453857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45939097203299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22789202} λ = 0.22789202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45939097203299))-π/2
    2×atan(0.232377756194735)-π/2
    2×0.228325504316626-π/2
    0.456651008633252-1.57079632675     		φ = -1.11414532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22789202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.057251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11414532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.835825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70290 KachelY 95980 0.22789202 -1.11414532 13.057251 -63.835825
    Oben rechts KachelX + 1 70291 KachelY 95980 0.22793996 -1.11414532 13.059998 -63.835825
    Unten links KachelX 70290 KachelY + 1 95981 0.22789202 -1.11416646 13.057251 -63.837036
    Unten rechts KachelX + 1 70291 KachelY + 1 95981 0.22793996 -1.11416646 13.059998 -63.837036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11414532--1.11416646) × R
    2.11400000000861e-05 × 6371000     		dl = 134.682940000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11414532--1.11416646) × R
    2.11400000000861e-05 × 6371000     		dr = 134.682940000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22789202-0.22793996) × cos(-1.11414532) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440944749245017 × 6371000     		do = 134.675876337263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22789202-0.22793996) × cos(-1.11416646) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440925775272466 × 6371000     		du = 134.670081197656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11414532)-sin(-1.11416646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440944749245017-0.440925775272466)×R²
    abs(0.22793996-0.22789202)×1.8973972551406e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8973972551406e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8973972551406e-05×40589641000000     		ar = 18138.1527198426m²