Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7029 / 8037
↖ ↑ ↗
← N 79.330135°
W141.388550°		 ← 113.10 m → N 79.330135°
W141.383056°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
N 79.329118°
W141.388550°		 ← 113.11 m →
12 790 m²		 N 79.329118°
W141.383056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107261657714844 y=0.122642517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107261657714844 × 216)
    floor (0.107261657714844 × 65536)
    floor (7029.5)     		tx = 7029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122642517089844 × 216)
    floor (0.122642517089844 × 65536)
    floor (8037.5)     		ty = 8037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7029 / 8037 ti = "16/7029/8037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7029/8037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7029 ÷ 216
    7029 ÷ 65536     		x = 0.107254028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8037 ÷ 216
    8037 ÷ 65536     		y = 0.122634887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107254028320312 × 2 - 1) × π
    -0.785491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.46769572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122634887695312 × 2 - 1) × π
    0.754730224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37105492900722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46769572} λ = -2.46769572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37105492900722))-π/2
    2×atan(10.7086832280582)-π/2
    2×1.47768419056146-π/2
    2.95536838112291-1.57079632675     		φ = 1.38457205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46769572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.388550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38457205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.330135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7029 KachelY 8037 -2.46769572 1.38457205 -141.388550 79.330135
    Oben rechts KachelX + 1 7030 KachelY 8037 -2.46759984 1.38457205 -141.383056 79.330135
    Unten links KachelX 7029 KachelY + 1 8038 -2.46769572 1.38455430 -141.388550 79.329118
    Unten rechts KachelX + 1 7030 KachelY + 1 8038 -2.46759984 1.38455430 -141.383056 79.329118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38457205-1.38455430) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dl = 113.085250000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38457205-1.38455430) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dr = 113.085250000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46769572--2.46759984) × cos(1.38457205) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185149781415483 × 6371000     		do = 113.09901799925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46769572--2.46759984) × cos(1.38455430) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185167224494363 × 6371000     		du = 113.1096731298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38457205)-sin(1.38455430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185149781415483-0.185167224494363)×R²
    abs(-2.46759984--2.46769572)×1.74430788804636e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.74430788804636e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.74430788804636e-05×40589641000000     		ar = 12790.4331945162m²