Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7029 / 5411
↖ ↑ ↗
← N 52.011936°
W 25.554199°		 ← 1 503.79 m → N 52.011936°
W 25.532227°		 →
↑
1 504 m
↓
↑
1 504 m
↓
N 51.998411°
W 25.554199°		 ← 1 504.25 m →
2 262 048 m²		 N 51.998411°
W 25.532227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429046630859375 y=0.330291748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429046630859375 × 214)
    floor (0.429046630859375 × 16384)
    floor (7029.5)     		tx = 7029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330291748046875 × 214)
    floor (0.330291748046875 × 16384)
    floor (5411.5)     		ty = 5411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7029 / 5411 ti = "14/7029/5411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7029/5411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7029 ÷ 214
    7029 ÷ 16384     		x = 0.42901611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5411 ÷ 214
    5411 ÷ 16384     		y = 0.33026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42901611328125 × 2 - 1) × π
    -0.1419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44600491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33026123046875 × 2 - 1) × π
    0.3394775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06650014274701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44600491} λ = -0.44600491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06650014274701))-π/2
    2×atan(2.90519392231963)-π/2
    2×1.23928793484041-π/2
    2.47857586968082-1.57079632675     		φ = 0.90777954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44600491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.554199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90777954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.011936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7029 KachelY 5411 -0.44600491 0.90777954 -25.554199 52.011936
    Oben rechts KachelX + 1 7030 KachelY 5411 -0.44562142 0.90777954 -25.532227 52.011936
    Unten links KachelX 7029 KachelY + 1 5412 -0.44600491 0.90754347 -25.554199 51.998411
    Unten rechts KachelX + 1 7030 KachelY + 1 5412 -0.44562142 0.90754347 -25.532227 51.998411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90777954-0.90754347) × R
    0.000236070000000033 × 6371000     		dl = 1504.00197000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90777954-0.90754347) × R
    0.000236070000000033 × 6371000     		dr = 1504.00197000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44600491--0.44562142) × cos(0.90777954) × R
    0.000383489999999986 × 0.615497296503606 × 6371000     		do = 1503.79209802257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44600491--0.44562142) × cos(0.90754347) × R
    0.000383489999999986 × 0.615683335324272 × 6371000     		du = 1504.24663082074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90777954)-sin(0.90754347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615497296503606-0.615683335324272)×R²
    abs(-0.44562142--0.44600491)×0.000186038820666368×R²
    0.000383489999999986×0.000186038820666368×6371000²
    0.000383489999999986×0.000186038820666368×40589641000000     		ar = 2262048.09751418m²