Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70289 / 96147
↖ ↑ ↗
← S 64.037352°
E 13.054504°		 ← 133.71 m → S 64.037352°
E 13.057251°		 →
↑
133.66 m
↓
↑
133.66 m
↓
S 64.038554°
E 13.054504°		 ← 133.71 m →
17 872 m²		 S 64.038554°
E 13.057251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536266326904297 y=0.733547210693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536266326904297 × 217)
    floor (0.536266326904297 × 131072)
    floor (70289.5)     		tx = 70289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733547210693359 × 217)
    floor (0.733547210693359 × 131072)
    floor (96147.5)     		ty = 96147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70289 / 96147 ti = "17/70289/96147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70289/96147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70289 ÷ 217
    70289 ÷ 131072     		x = 0.536262512207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96147 ÷ 217
    96147 ÷ 131072     		y = 0.733543395996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536262512207031 × 2 - 1) × π
    0.0725250244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22784408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733543395996094 × 2 - 1) × π
    -0.467086791992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.46739643426954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22784408} λ = 0.22784408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46739643426954))-π/2
    2×atan(0.230524891258477)-π/2
    2×0.22656685037221-π/2
    0.453133700744419-1.57079632675     		φ = -1.11766263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22784408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.054504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11766263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.037352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70289 KachelY 96147 0.22784408 -1.11766263 13.054504 -64.037352
    Oben rechts KachelX + 1 70290 KachelY 96147 0.22789202 -1.11766263 13.057251 -64.037352
    Unten links KachelX 70289 KachelY + 1 96148 0.22784408 -1.11768361 13.054504 -64.038554
    Unten rechts KachelX + 1 70290 KachelY + 1 96148 0.22789202 -1.11768361 13.057251 -64.038554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11766263--1.11768361) × R
    2.09799999999483e-05 × 6371000     		dl = 133.66357999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11766263--1.11768361) × R
    2.09799999999483e-05 × 6371000     		dr = 133.66357999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22784408-0.22789202) × cos(-1.11766263) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.437785122000477 × 6371000     		do = 133.710844847976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22784408-0.22789202) × cos(-1.11768361) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.437766259213425 × 6371000     		du = 133.705083667282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11766263)-sin(-1.11768361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437785122000477-0.437766259213425)×R²
    abs(0.22789202-0.22784408)×1.88627870523761e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88627870523761e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88627870523761e-05×40589641000000     		ar = 17871.8851777769m²