Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70289 / 95973
↖ ↑ ↗
← S 63.827345°
E 13.054504°		 ← 134.72 m → S 63.827345°
E 13.057251°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
S 63.828557°
E 13.054504°		 ← 134.71 m →
18 152 m²		 S 63.828557°
E 13.057251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536266326904297 y=0.732219696044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536266326904297 × 217)
    floor (0.536266326904297 × 131072)
    floor (70289.5)     		tx = 70289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732219696044922 × 217)
    floor (0.732219696044922 × 131072)
    floor (95973.5)     		ty = 95973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70289 / 95973 ti = "17/70289/95973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70289/95973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70289 ÷ 217
    70289 ÷ 131072     		x = 0.536262512207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95973 ÷ 217
    95973 ÷ 131072     		y = 0.732215881347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536262512207031 × 2 - 1) × π
    0.0725250244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22784408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732215881347656 × 2 - 1) × π
    -0.464431762695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.45905541373565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22784408} λ = 0.22784408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45905541373565))-π/2
    2×atan(0.232455745563201)-π/2
    2×0.228399496793057-π/2
    0.456798993586114-1.57079632675     		φ = -1.11399733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22784408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.054504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11399733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.827345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70289 KachelY 95973 0.22784408 -1.11399733 13.054504 -63.827345
    Oben rechts KachelX + 1 70290 KachelY 95973 0.22789202 -1.11399733 13.057251 -63.827345
    Unten links KachelX 70289 KachelY + 1 95974 0.22784408 -1.11401848 13.054504 -63.828557
    Unten rechts KachelX + 1 70290 KachelY + 1 95974 0.22789202 -1.11401848 13.057251 -63.828557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11399733--1.11401848) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11399733--1.11401848) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22784408-0.22789202) × cos(-1.11399733) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441077570509466 × 6371000     		do = 134.716443370246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22784408-0.22789202) × cos(-1.11401848) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441058588941809 × 6371000     		du = 134.710645910898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11399733)-sin(-1.11401848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441077570509466-0.441058588941809)×R²
    abs(0.22789202-0.22784408)×1.89815676568394e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89815676568394e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89815676568394e-05×40589641000000     		ar = 18152.1988506467m²