Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70283 / 96023
↖ ↑ ↗
← S 63.887853°
E 13.038025°		 ← 134.43 m → S 63.887853°
E 13.040772°		 →
↑
134.43 m
↓
↑
134.43 m
↓
S 63.889062°
E 13.038025°		 ← 134.42 m →
18 070 m²		 S 63.889062°
E 13.040772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536220550537109 y=0.732601165771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536220550537109 × 217)
    floor (0.536220550537109 × 131072)
    floor (70283.5)     		tx = 70283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732601165771484 × 217)
    floor (0.732601165771484 × 131072)
    floor (96023.5)     		ty = 96023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70283 / 96023 ti = "17/70283/96023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70283/96023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70283 ÷ 217
    70283 ÷ 131072     		x = 0.536216735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96023 ÷ 217
    96023 ÷ 131072     		y = 0.732597351074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536216735839844 × 2 - 1) × π
    0.0724334716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22755646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732597351074219 × 2 - 1) × π
    -0.465194702148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.46145225871665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22755646} λ = 0.22755646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46145225871665))-π/2
    2×atan(0.231899252356533)-π/2
    2×0.227871467737944-π/2
    0.455742935475887-1.57079632675     		φ = -1.11505339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22755646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.038025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11505339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.887853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70283 KachelY 96023 0.22755646 -1.11505339 13.038025 -63.887853
    Oben rechts KachelX + 1 70284 KachelY 96023 0.22760440 -1.11505339 13.040772 -63.887853
    Unten links KachelX 70283 KachelY + 1 96024 0.22755646 -1.11507449 13.038025 -63.889062
    Unten rechts KachelX + 1 70284 KachelY + 1 96024 0.22760440 -1.11507449 13.040772 -63.889062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11505339--1.11507449) × R
    2.11000000001071e-05 × 6371000     		dl = 134.428100000683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11505339--1.11507449) × R
    2.11000000001071e-05 × 6371000     		dr = 134.428100000683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22755646-0.22760440) × cos(-1.11505339) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.440129543631995 × 6371000     		do = 134.426891559732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22755646-0.22760440) × cos(-1.11507449) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.440110597120553 × 6371000     		du = 134.421104807454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11505339)-sin(-1.11507449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440129543631995-0.440110597120553)×R²
    abs(0.22760440-0.22755646)×1.8946511441742e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8946511441742e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8946511441742e-05×40589641000000     		ar = 18070.3626709426m²