Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70283 / 96012
↖ ↑ ↗
← S 63.874553°
E 13.038025°		 ← 134.49 m → S 63.874553°
E 13.040772°		 →
↑
134.49 m
↓
↑
134.49 m
↓
S 63.875762°
E 13.038025°		 ← 134.48 m →
18 087 m²		 S 63.875762°
E 13.040772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536220550537109 y=0.732517242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536220550537109 × 217)
    floor (0.536220550537109 × 131072)
    floor (70283.5)     		tx = 70283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732517242431641 × 217)
    floor (0.732517242431641 × 131072)
    floor (96012.5)     		ty = 96012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70283 / 96012 ti = "17/70283/96012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70283/96012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70283 ÷ 217
    70283 ÷ 131072     		x = 0.536216735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96012 ÷ 217
    96012 ÷ 131072     		y = 0.732513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536216735839844 × 2 - 1) × π
    0.0724334716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22755646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732513427734375 × 2 - 1) × π
    -0.46502685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46092495282083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22755646} λ = 0.22755646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46092495282083))-π/2
    2×atan(0.232021566445173)-π/2
    2×0.22798753666457-π/2
    0.45597507332914-1.57079632675     		φ = -1.11482125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22755646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.038025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11482125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.874553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70283 KachelY 96012 0.22755646 -1.11482125 13.038025 -63.874553
    Oben rechts KachelX + 1 70284 KachelY 96012 0.22760440 -1.11482125 13.040772 -63.874553
    Unten links KachelX 70283 KachelY + 1 96013 0.22755646 -1.11484236 13.038025 -63.875762
    Unten rechts KachelX + 1 70284 KachelY + 1 96013 0.22760440 -1.11484236 13.040772 -63.875762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11482125--1.11484236) × R
    2.11099999998243e-05 × 6371000     		dl = 134.491809998881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11482125--1.11484236) × R
    2.11099999998243e-05 × 6371000     		dr = 134.491809998881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22755646-0.22760440) × cos(-1.11482125) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.440337978236576 × 6371000     		do = 134.490552853078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22755646-0.22760440) × cos(-1.11484236) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.440319024903007 × 6371000     		du = 134.484764017147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11482125)-sin(-1.11484236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440337978236576-0.440319024903007)×R²
    abs(0.22760440-0.22755646)×1.8953333568994e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8953333568994e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8953333568994e-05×40589641000000     		ar = 18087.4886059406m²