Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70283 / 95891
↖ ↑ ↗
← S 63.727831°
E 13.038025°		 ← 135.19 m → S 63.727831°
E 13.040772°		 →
↑
135.19 m
↓
↑
135.19 m
↓
S 63.729046°
E 13.038025°		 ← 135.19 m →
18 277 m²		 S 63.729046°
E 13.040772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536220550537109 y=0.731594085693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536220550537109 × 217)
    floor (0.536220550537109 × 131072)
    floor (70283.5)     		tx = 70283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731594085693359 × 217)
    floor (0.731594085693359 × 131072)
    floor (95891.5)     		ty = 95891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70283 / 95891 ti = "17/70283/95891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70283/95891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70283 ÷ 217
    70283 ÷ 131072     		x = 0.536216735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95891 ÷ 217
    95891 ÷ 131072     		y = 0.731590270996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536216735839844 × 2 - 1) × π
    0.0724334716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22755646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731590270996094 × 2 - 1) × π
    -0.463180541992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.4551245879668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22755646} λ = 0.22755646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4551245879668))-π/2
    2×atan(0.233371286835725)-π/2
    2×0.229267926812571-π/2
    0.458535853625141-1.57079632675     		φ = -1.11226047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22755646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.038025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11226047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.727831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70283 KachelY 95891 0.22755646 -1.11226047 13.038025 -63.727831
    Oben rechts KachelX + 1 70284 KachelY 95891 0.22760440 -1.11226047 13.040772 -63.727831
    Unten links KachelX 70283 KachelY + 1 95892 0.22755646 -1.11228169 13.038025 -63.729046
    Unten rechts KachelX + 1 70284 KachelY + 1 95892 0.22760440 -1.11228169 13.040772 -63.729046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11226047--1.11228169) × R
    2.1220000000044e-05 × 6371000     		dl = 135.19262000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11226047--1.11228169) × R
    2.1220000000044e-05 × 6371000     		dr = 135.19262000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22755646-0.22760440) × cos(-1.11226047) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442635682409497 × 6371000     		do = 135.192330850394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22755646-0.22760440) × cos(-1.11228169) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442616654303154 × 6371000     		du = 135.186519176933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11226047)-sin(-1.11228169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442635682409497-0.442616654303154)×R²
    abs(0.22760440-0.22755646)×1.90281063439657e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90281063439657e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90281063439657e-05×40589641000000     		ar = 18276.6125644671m²