Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70281 / 97625
↖ ↑ ↗
← S 65.758834°
E 13.032532°		 ← 125.40 m → S 65.758834°
E 13.035279°		 →
↑
125.38 m
↓
↑
125.38 m
↓
S 65.759962°
E 13.032532°		 ← 125.40 m →
15 723 m²		 S 65.759962°
E 13.035279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536205291748047 y=0.744823455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536205291748047 × 217)
    floor (0.536205291748047 × 131072)
    floor (70281.5)     		tx = 70281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744823455810547 × 217)
    floor (0.744823455810547 × 131072)
    floor (97625.5)     		ty = 97625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70281 / 97625 ti = "17/70281/97625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70281/97625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70281 ÷ 217
    70281 ÷ 131072     		x = 0.536201477050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97625 ÷ 217
    97625 ÷ 131072     		y = 0.744819641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536201477050781 × 2 - 1) × π
    0.0724029541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22746059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744819641113281 × 2 - 1) × π
    -0.489639282226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.53824717190798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22746059} λ = 0.22746059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53824717190798))-π/2
    2×atan(0.214757204169388)-π/2
    2×0.21154407997882-π/2
    0.42308815995764-1.57079632675     		φ = -1.14770817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22746059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.032532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14770817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.758834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70281 KachelY 97625 0.22746059 -1.14770817 13.032532 -65.758834
    Oben rechts KachelX + 1 70282 KachelY 97625 0.22750853 -1.14770817 13.035279 -65.758834
    Unten links KachelX 70281 KachelY + 1 97626 0.22746059 -1.14772785 13.032532 -65.759962
    Unten rechts KachelX + 1 70282 KachelY + 1 97626 0.22750853 -1.14772785 13.035279 -65.759962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14770817--1.14772785) × R
    1.96800000000774e-05 × 6371000     		dl = 125.381280000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14770817--1.14772785) × R
    1.96800000000774e-05 × 6371000     		dr = 125.381280000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22746059-0.22750853) × cos(-1.14770817) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.410578266047529 × 6371000     		do = 125.401170735474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22746059-0.22750853) × cos(-1.14772785) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.410560321244933 × 6371000     		du = 125.395689930862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14770817)-sin(-1.14772785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410578266047529-0.410560321244933)×R²
    abs(0.22750853-0.22746059)×1.79448025960371e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.79448025960371e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.79448025960371e-05×40589641000000     		ar = 15722.6157056911m²