Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70281 / 96010
↖ ↑ ↗
← S 63.872134°
E 13.032532°		 ← 134.50 m → S 63.872134°
E 13.035279°		 →
↑
134.49 m
↓
↑
134.49 m
↓
S 63.873343°
E 13.032532°		 ← 134.50 m →
18 089 m²		 S 63.873343°
E 13.035279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536205291748047 y=0.732501983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536205291748047 × 217)
    floor (0.536205291748047 × 131072)
    floor (70281.5)     		tx = 70281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732501983642578 × 217)
    floor (0.732501983642578 × 131072)
    floor (96010.5)     		ty = 96010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70281 / 96010 ti = "17/70281/96010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70281/96010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70281 ÷ 217
    70281 ÷ 131072     		x = 0.536201477050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96010 ÷ 217
    96010 ÷ 131072     		y = 0.732498168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536201477050781 × 2 - 1) × π
    0.0724029541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22746059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732498168945312 × 2 - 1) × π
    -0.464996337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46082907902159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22746059} λ = 0.22746059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46082907902159))-π/2
    2×atan(0.232043812300634)-π/2
    2×0.228008646010395-π/2
    0.456017292020789-1.57079632675     		φ = -1.11477903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22746059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.032532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11477903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.872134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70281 KachelY 96010 0.22746059 -1.11477903 13.032532 -63.872134
    Oben rechts KachelX + 1 70282 KachelY 96010 0.22750853 -1.11477903 13.035279 -63.872134
    Unten links KachelX 70281 KachelY + 1 96011 0.22746059 -1.11480014 13.032532 -63.873343
    Unten rechts KachelX + 1 70282 KachelY + 1 96011 0.22750853 -1.11480014 13.035279 -63.873343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11477903--1.11480014) × R
    2.11100000000464e-05 × 6371000     		dl = 134.491810000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11477903--1.11480014) × R
    2.11100000000464e-05 × 6371000     		dr = 134.491810000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22746059-0.22750853) × cos(-1.11477903) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.44037588431502 × 6371000     		do = 134.502130345059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22746059-0.22750853) × cos(-1.11480014) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440356931373917 × 6371000     		du = 134.496341628997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11477903)-sin(-1.11480014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44037588431502-0.440356931373917)×R²
    abs(0.22750853-0.22746059)×1.89529411032674e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89529411032674e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89529411032674e-05×40589641000000     		ar = 18089.0456922896m²