Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7028 / 2030
↖ ↑ ↗
← N 79.245389°
W 25.576172°		 ← 455.92 m → N 79.245389°
W 25.554199°		 →
↑
456.04 m
↓
↑
456.04 m
↓
N 79.241287°
W 25.576172°		 ← 456.10 m →
207 957 m²		 N 79.241287°
W 25.554199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428985595703125 y=0.123931884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428985595703125 × 214)
    floor (0.428985595703125 × 16384)
    floor (7028.5)     		tx = 7028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123931884765625 × 214)
    floor (0.123931884765625 × 16384)
    floor (2030.5)     		ty = 2030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7028 / 2030 ti = "14/7028/2030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7028/2030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7028 ÷ 214
    7028 ÷ 16384     		x = 0.428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2030 ÷ 214
    2030 ÷ 16384     		y = 0.1239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.14208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44638841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1239013671875 × 2 - 1) × π
    0.752197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36309740367029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44638841} λ = -0.44638841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36309740367029))-π/2
    2×atan(10.6238067611437)-π/2
    2×1.47694463593962-π/2
    2.95388927187925-1.57079632675     		φ = 1.38309295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44638841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38309295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.245389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7028 KachelY 2030 -0.44638841 1.38309295 -25.576172 79.245389
    Oben rechts KachelX + 1 7029 KachelY 2030 -0.44600491 1.38309295 -25.554199 79.245389
    Unten links KachelX 7028 KachelY + 1 2031 -0.44638841 1.38302137 -25.576172 79.241287
    Unten rechts KachelX + 1 7029 KachelY + 1 2031 -0.44600491 1.38302137 -25.554199 79.241287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38309295-1.38302137) × R
    7.157999999996e-05 × 6371000     		dl = 456.036179999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38309295-1.38302137) × R
    7.157999999996e-05 × 6371000     		dr = 456.036179999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44638841--0.44600491) × cos(1.38309295) × R
    0.000383500000000037 × 0.186603105179365 × 6371000     		do = 455.923354918024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44638841--0.44600491) × cos(1.38302137) × R
    0.000383500000000037 × 0.186673427425948 × 6371000     		du = 456.095171751172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38309295)-sin(1.38302137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186603105179365-0.186673427425948)×R²
    abs(-0.44600491--0.44638841)×7.03222465831821e-05×R²
    0.000383500000000037×7.03222465831821e-05×6371000²
    0.000383500000000037×7.03222465831821e-05×40589641000000     		ar = 207956.722585083m²