Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70277 / 95909
↖ ↑ ↗
← S 63.749706°
E 13.021545°		 ← 135.09 m → S 63.749706°
E 13.024292°		 →
↑
135.07 m
↓
↑
135.07 m
↓
S 63.750920°
E 13.021545°		 ← 135.08 m →
18 245 m²		 S 63.750920°
E 13.024292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536174774169922 y=0.731731414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536174774169922 × 217)
    floor (0.536174774169922 × 131072)
    floor (70277.5)     		tx = 70277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731731414794922 × 217)
    floor (0.731731414794922 × 131072)
    floor (95909.5)     		ty = 95909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70277 / 95909 ti = "17/70277/95909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70277/95909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70277 ÷ 217
    70277 ÷ 131072     		x = 0.536170959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95909 ÷ 217
    95909 ÷ 131072     		y = 0.731727600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536170959472656 × 2 - 1) × π
    0.0723419189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22726884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731727600097656 × 2 - 1) × π
    -0.463455200195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.45598745215997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22726884} λ = 0.22726884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45598745215997))-π/2
    2×atan(0.233170005960121)-π/2
    2×0.2290770334376-π/2
    0.458154066875201-1.57079632675     		φ = -1.11264226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22726884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.021545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11264226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.749706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70277 KachelY 95909 0.22726884 -1.11264226 13.021545 -63.749706
    Oben rechts KachelX + 1 70278 KachelY 95909 0.22731678 -1.11264226 13.024292 -63.749706
    Unten links KachelX 70277 KachelY + 1 95910 0.22726884 -1.11266346 13.021545 -63.750920
    Unten rechts KachelX + 1 70278 KachelY + 1 95910 0.22731678 -1.11266346 13.024292 -63.750920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11264226--1.11266346) × R
    2.11999999999435e-05 × 6371000     		dl = 135.06519999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11264226--1.11266346) × R
    2.11999999999435e-05 × 6371000     		dr = 135.06519999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22726884-0.22731678) × cos(-1.11264226) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.442293298476598 × 6371000     		do = 135.087757984245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22726884-0.22731678) × cos(-1.11266346) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.442274284723265 × 6371000     		du = 135.081950694563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11264226)-sin(-1.11266346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442293298476598-0.442274284723265)×R²
    abs(0.22731678-0.22726884)×1.90137533330192e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90137533330192e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90137533330192e-05×40589641000000     		ar = 18245.2628688933m²