Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70270 / 96127
↖ ↑ ↗
← S 64.013293°
E 13.002319°		 ← 133.83 m → S 64.013293°
E 13.005066°		 →
↑
133.85 m
↓
↑
133.85 m
↓
S 64.014496°
E 13.002319°		 ← 133.82 m →
17 913 m²		 S 64.014496°
E 13.005066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536121368408203 y=0.733394622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536121368408203 × 217)
    floor (0.536121368408203 × 131072)
    floor (70270.5)     		tx = 70270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733394622802734 × 217)
    floor (0.733394622802734 × 131072)
    floor (96127.5)     		ty = 96127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70270 / 96127 ti = "17/70270/96127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70270/96127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70270 ÷ 217
    70270 ÷ 131072     		x = 0.536117553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96127 ÷ 217
    96127 ÷ 131072     		y = 0.733390808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536117553710938 × 2 - 1) × π
    0.072235107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22693328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733390808105469 × 2 - 1) × π
    -0.466781616210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.46643769627714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22693328} λ = 0.22693328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46643769627714))-π/2
    2×atan(0.230746010210553)-π/2
    2×0.226776801456238-π/2
    0.453553602912476-1.57079632675     		φ = -1.11724272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22693328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.002319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11724272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.013293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70270 KachelY 96127 0.22693328 -1.11724272 13.002319 -64.013293
    Oben rechts KachelX + 1 70271 KachelY 96127 0.22698122 -1.11724272 13.005066 -64.013293
    Unten links KachelX 70270 KachelY + 1 96128 0.22693328 -1.11726373 13.002319 -64.014496
    Unten rechts KachelX + 1 70271 KachelY + 1 96128 0.22698122 -1.11726373 13.005066 -64.014496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11724272--1.11726373) × R
    2.1009999999988e-05 × 6371000     		dl = 133.854709999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11724272--1.11726373) × R
    2.1009999999988e-05 × 6371000     		dr = 133.854709999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22693328-0.22698122) × cos(-1.11724272) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.438162615922087 × 6371000     		do = 133.826141208406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22693328-0.22698122) × cos(-1.11726373) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.438143730026227 × 6371000     		du = 133.820372969688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11724272)-sin(-1.11726373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438162615922087-0.438143730026227)×R²
    abs(0.22698122-0.22693328)×1.88858958595217e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88858958595217e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88858958595217e-05×40589641000000     		ar = 17912.8732693612m²