Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70260 / 96117
↖ ↑ ↗
← S 64.001256°
E 12.974853°		 ← 133.88 m → S 64.001256°
E 12.977600°		 →
↑
133.85 m
↓
↑
133.85 m
↓
S 64.002460°
E 12.974853°		 ← 133.88 m →
17 921 m²		 S 64.002460°
E 12.977600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536045074462891 y=0.733318328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536045074462891 × 217)
    floor (0.536045074462891 × 131072)
    floor (70260.5)     		tx = 70260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733318328857422 × 217)
    floor (0.733318328857422 × 131072)
    floor (96117.5)     		ty = 96117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70260 / 96117 ti = "17/70260/96117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70260/96117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70260 ÷ 217
    70260 ÷ 131072     		x = 0.536041259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96117 ÷ 217
    96117 ÷ 131072     		y = 0.733314514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536041259765625 × 2 - 1) × π
    0.07208251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22645391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733314514160156 × 2 - 1) × π
    -0.466629028320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.46595832728094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22645391} λ = 0.22645391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46595832728094))-π/2
    2×atan(0.23085664921018)-π/2
    2×0.226881844871435-π/2
    0.453763689742871-1.57079632675     		φ = -1.11703264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22645391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.974853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11703264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.001256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70260 KachelY 96117 0.22645391 -1.11703264 12.974853 -64.001256
    Oben rechts KachelX + 1 70261 KachelY 96117 0.22650185 -1.11703264 12.977600 -64.001256
    Unten links KachelX 70260 KachelY + 1 96118 0.22645391 -1.11705365 12.974853 -64.002460
    Unten rechts KachelX + 1 70261 KachelY + 1 96118 0.22650185 -1.11705365 12.977600 -64.002460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11703264--1.11705365) × R
    2.1009999999988e-05 × 6371000     		dl = 133.854709999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11703264--1.11705365) × R
    2.1009999999988e-05 × 6371000     		dr = 133.854709999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22645391-0.22650185) × cos(-1.11703264) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.438351446265475 × 6371000     		do = 133.883814855693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22645391-0.22650185) × cos(-1.11705365) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.438332562303945 × 6371000     		du = 133.878047207768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11703264)-sin(-1.11705365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438351446265475-0.438332562303945)×R²
    abs(0.22650185-0.22645391)×1.88839615307135e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88839615307135e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88839615307135e-05×40589641000000     		ar = 17920.5931985694m²