Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7026 / 5398
↖ ↑ ↗
← N 52.187405°
W 25.620117°		 ← 1 497.93 m → N 52.187405°
W 25.598144°		 →
↑
1 498.14 m
↓
↑
1 498.14 m
↓
N 52.173932°
W 25.620117°		 ← 1 498.38 m →
2 244 445 m²		 N 52.173932°
W 25.598144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428863525390625 y=0.329498291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428863525390625 × 214)
    floor (0.428863525390625 × 16384)
    floor (7026.5)     		tx = 7026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329498291015625 × 214)
    floor (0.329498291015625 × 16384)
    floor (5398.5)     		ty = 5398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7026 / 5398 ti = "14/7026/5398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7026/5398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7026 ÷ 214
    7026 ÷ 16384     		x = 0.4288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5398 ÷ 214
    5398 ÷ 16384     		y = 0.3294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44715540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3294677734375 × 2 - 1) × π
    0.341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0714855803075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44715540} λ = -0.44715540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0714855803075))-π/2
    2×atan(2.91971374899141)-π/2
    2×1.24081918382887-π/2
    2.48163836765775-1.57079632675     		φ = 0.91084204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44715540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91084204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.187405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7026 KachelY 5398 -0.44715540 0.91084204 -25.620117 52.187405
    Oben rechts KachelX + 1 7027 KachelY 5398 -0.44677190 0.91084204 -25.598144 52.187405
    Unten links KachelX 7026 KachelY + 1 5399 -0.44715540 0.91060689 -25.620117 52.173932
    Unten rechts KachelX + 1 7027 KachelY + 1 5399 -0.44677190 0.91060689 -25.598144 52.173932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91084204-0.91060689) × R
    0.000235150000000073 × 6371000     		dl = 1498.14065000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91084204-0.91060689) × R
    0.000235150000000073 × 6371000     		dr = 1498.14065000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44715540--0.44677190) × cos(0.91084204) × R
    0.000383499999999981 × 0.613080738255924 × 6371000     		do = 1497.92698654475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44715540--0.44677190) × cos(0.91060689) × R
    0.000383499999999981 × 0.61326649456762 × 6371000     		du = 1498.38084094736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91084204)-sin(0.91060689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613080738255924-0.61326649456762)×R²
    abs(-0.44677190--0.44715540)×0.000185756311695928×R²
    0.000383499999999981×0.000185756311695928×6371000²
    0.000383499999999981×0.000185756311695928×40589641000000     		ar = 2244445.28848226m²