Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7026 / 3739
↖ ↑ ↗
← N 69.449842°
W 25.620117°		 ← 857.66 m → N 69.449842°
W 25.598144°		 →
↑
857.79 m
↓
↑
857.79 m
↓
N 69.442128°
W 25.620117°		 ← 857.97 m →
735 823 m²		 N 69.442128°
W 25.598144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428863525390625 y=0.228240966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428863525390625 × 214)
    floor (0.428863525390625 × 16384)
    floor (7026.5)     		tx = 7026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228240966796875 × 214)
    floor (0.228240966796875 × 16384)
    floor (3739.5)     		ty = 3739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7026 / 3739 ti = "14/7026/3739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7026/3739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7026 ÷ 214
    7026 ÷ 16384     		x = 0.4288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3739 ÷ 214
    3739 ÷ 16384     		y = 0.22821044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44715540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22821044921875 × 2 - 1) × π
    0.5435791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70770411206488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44715540} λ = -0.44715540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70770411206488))-π/2
    2×atan(5.51628216238672)-π/2
    2×1.39146236732569-π/2
    2.78292473465138-1.57079632675     		φ = 1.21212841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44715540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21212841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.449842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7026 KachelY 3739 -0.44715540 1.21212841 -25.620117 69.449842
    Oben rechts KachelX + 1 7027 KachelY 3739 -0.44677190 1.21212841 -25.598144 69.449842
    Unten links KachelX 7026 KachelY + 1 3740 -0.44715540 1.21199377 -25.620117 69.442128
    Unten rechts KachelX + 1 7027 KachelY + 1 3740 -0.44677190 1.21199377 -25.598144 69.442128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21212841-1.21199377) × R
    0.000134639999999964 × 6371000     		dl = 857.791439999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21212841-1.21199377) × R
    0.000134639999999964 × 6371000     		dr = 857.791439999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44715540--0.44677190) × cos(1.21212841) × R
    0.000383499999999981 × 0.35102722865756 × 6371000     		do = 857.657280693558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44715540--0.44677190) × cos(1.21199377) × R
    0.000383499999999981 × 0.35115329769298 × 6371000     		du = 857.965302457316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21212841)-sin(1.21199377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35102722865756-0.35115329769298)×R²
    abs(-0.44677190--0.44715540)×0.000126069035420284×R²
    0.000383499999999981×0.000126069035420284×6371000²
    0.000383499999999981×0.000126069035420284×40589641000000     		ar = 735823.184159762m²