Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70259 / 97652
↖ ↑ ↗
← S 65.789263°
E 12.972107°		 ← 125.23 m → S 65.789263°
E 12.974853°		 →
↑
125.25 m
↓
↑
125.25 m
↓
S 65.790390°
E 12.972107°		 ← 125.22 m →
15 685 m²		 S 65.790390°
E 12.974853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536037445068359 y=0.745029449462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536037445068359 × 217)
    floor (0.536037445068359 × 131072)
    floor (70259.5)     		tx = 70259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745029449462891 × 217)
    floor (0.745029449462891 × 131072)
    floor (97652.5)     		ty = 97652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70259 / 97652 ti = "17/70259/97652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70259/97652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70259 ÷ 217
    70259 ÷ 131072     		x = 0.536033630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97652 ÷ 217
    97652 ÷ 131072     		y = 0.745025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536033630371094 × 2 - 1) × π
    0.0720672607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22640598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.49005126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53954146819772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22640598} λ = 0.22640598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53954146819772))-π/2
    2×atan(0.214479424520199)-π/2
    2×0.211278531753387-π/2
    0.422557063506773-1.57079632675     		φ = -1.14823926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22640598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.972107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14823926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.789263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70259 KachelY 97652 0.22640598 -1.14823926 12.972107 -65.789263
    Oben rechts KachelX + 1 70260 KachelY 97652 0.22645391 -1.14823926 12.974853 -65.789263
    Unten links KachelX 70259 KachelY + 1 97653 0.22640598 -1.14825892 12.972107 -65.790390
    Unten rechts KachelX + 1 70260 KachelY + 1 97653 0.22645391 -1.14825892 12.974853 -65.790390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14823926--1.14825892) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dl = 125.253859999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14823926--1.14825892) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dr = 125.253859999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22640598-0.22645391) × cos(-1.14823926) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.41009394683661 × 6371000     		do = 125.227120096744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22640598-0.22645391) × cos(-1.14825892) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.410076015986363 × 6371000     		du = 125.221644695912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14823926)-sin(-1.14825892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41009394683661-0.410076015986363)×R²
    abs(0.22645391-0.22640598)×1.79308502470943e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.79308502470943e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.79308502470943e-05×40589641000000     		ar = 15684.8372617405m²