Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70259 / 96118
↖ ↑ ↗
← S 64.002460°
E 12.972107°		 ← 133.85 m → S 64.002460°
E 12.974853°		 →
↑
133.85 m
↓
↑
133.85 m
↓
S 64.003663°
E 12.972107°		 ← 133.84 m →
17 916 m²		 S 64.003663°
E 12.974853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536037445068359 y=0.733325958251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536037445068359 × 217)
    floor (0.536037445068359 × 131072)
    floor (70259.5)     		tx = 70259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733325958251953 × 217)
    floor (0.733325958251953 × 131072)
    floor (96118.5)     		ty = 96118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70259 / 96118 ti = "17/70259/96118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70259/96118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70259 ÷ 217
    70259 ÷ 131072     		x = 0.536033630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96118 ÷ 217
    96118 ÷ 131072     		y = 0.733322143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536033630371094 × 2 - 1) × π
    0.0720672607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22640598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733322143554688 × 2 - 1) × π
    -0.466644287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46600626418056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22640598} λ = 0.22640598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46600626418056))-π/2
    2×atan(0.230845582923404)-π/2
    2×0.226871338493073-π/2
    0.453742676986147-1.57079632675     		φ = -1.11705365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22640598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.972107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11705365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.002460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70259 KachelY 96118 0.22640598 -1.11705365 12.972107 -64.002460
    Oben rechts KachelX + 1 70260 KachelY 96118 0.22645391 -1.11705365 12.974853 -64.002460
    Unten links KachelX 70259 KachelY + 1 96119 0.22640598 -1.11707466 12.972107 -64.003663
    Unten rechts KachelX + 1 70260 KachelY + 1 96119 0.22645391 -1.11707466 12.974853 -64.003663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11705365--1.11707466) × R
    2.101000000021e-05 × 6371000     		dl = 133.854710001338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11705365--1.11707466) × R
    2.101000000021e-05 × 6371000     		dr = 133.854710001338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22640598-0.22645391) × cos(-1.11705365) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.438332562303945 × 6371000     		do = 133.850121040238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22640598-0.22645391) × cos(-1.11707466) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.438313678148925 × 6371000     		du = 133.844354536327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11705365)-sin(-1.11707466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438332562303945-0.438313678148925)×R²
    abs(0.22645391-0.22640598)×1.88841550197161e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.88841550197161e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.88841550197161e-05×40589641000000     		ar = 17916.0831992198m²