Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70255 / 96099
↖ ↑ ↗
← S 63.979576°
E 12.961121°		 ← 133.99 m → S 63.979576°
E 12.963867°		 →
↑
133.98 m
↓
↑
133.98 m
↓
S 63.980781°
E 12.961121°		 ← 133.98 m →
17 952 m²		 S 63.980781°
E 12.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536006927490234 y=0.733180999755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536006927490234 × 217)
    floor (0.536006927490234 × 131072)
    floor (70255.5)     		tx = 70255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733180999755859 × 217)
    floor (0.733180999755859 × 131072)
    floor (96099.5)     		ty = 96099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70255 / 96099 ti = "17/70255/96099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70255/96099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70255 ÷ 217
    70255 ÷ 131072     		x = 0.536003112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96099 ÷ 217
    96099 ÷ 131072     		y = 0.733177185058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536003112792969 × 2 - 1) × π
    0.0720062255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22621423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733177185058594 × 2 - 1) × π
    -0.466354370117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.46509546308778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22621423} λ = 0.22621423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46509546308778))-π/2
    2×atan(0.231055933111643)-π/2
    2×0.227071037105677-π/2
    0.454142074211354-1.57079632675     		φ = -1.11665425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22621423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.961121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11665425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.979576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70255 KachelY 96099 0.22621423 -1.11665425 12.961121 -63.979576
    Oben rechts KachelX + 1 70256 KachelY 96099 0.22626217 -1.11665425 12.963867 -63.979576
    Unten links KachelX 70255 KachelY + 1 96100 0.22621423 -1.11667528 12.961121 -63.980781
    Unten rechts KachelX + 1 70256 KachelY + 1 96100 0.22626217 -1.11667528 12.963867 -63.980781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11665425--1.11667528) × R
    2.10299999998664e-05 × 6371000     		dl = 133.982129999149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11665425--1.11667528) × R
    2.10299999998664e-05 × 6371000     		dr = 133.982129999149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22621423-0.22626217) × cos(-1.11665425) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.438691513190872 × 6371000     		do = 133.987680048109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22621423-0.22626217) × cos(-1.11667528) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.438672614742562 × 6371000     		du = 133.981907975549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11665425)-sin(-1.11667528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438691513190872-0.438672614742562)×R²
    abs(0.22626217-0.22621423)×1.88984483101562e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88984483101562e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88984483101562e-05×40589641000000     		ar = 17951.5680897475m²