Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70252 / 96108
↖ ↑ ↗
← S 63.990418°
E 12.952881°		 ← 133.94 m → S 63.990418°
E 12.955628°		 →
↑
133.92 m
↓
↑
133.92 m
↓
S 63.991622°
E 12.952881°		 ← 133.93 m →
17 936 m²		 S 63.991622°
E 12.955628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535984039306641 y=0.733249664306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535984039306641 × 217)
    floor (0.535984039306641 × 131072)
    floor (70252.5)     		tx = 70252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733249664306641 × 217)
    floor (0.733249664306641 × 131072)
    floor (96108.5)     		ty = 96108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70252 / 96108 ti = "17/70252/96108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70252/96108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70252 ÷ 217
    70252 ÷ 131072     		x = 0.535980224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96108 ÷ 217
    96108 ÷ 131072     		y = 0.733245849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535980224609375 × 2 - 1) × π
    0.07196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22607042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733245849609375 × 2 - 1) × π
    -0.46649169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46552689518436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22607042} λ = 0.22607042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46552689518436))-π/2
    2×atan(0.230956269666544)-π/2
    2×0.226976422649351-π/2
    0.453952845298702-1.57079632675     		φ = -1.11684348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22607042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.952881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11684348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.990418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70252 KachelY 96108 0.22607042 -1.11684348 12.952881 -63.990418
    Oben rechts KachelX + 1 70253 KachelY 96108 0.22611836 -1.11684348 12.955628 -63.990418
    Unten links KachelX 70252 KachelY + 1 96109 0.22607042 -1.11686450 12.952881 -63.991622
    Unten rechts KachelX + 1 70253 KachelY + 1 96109 0.22611836 -1.11686450 12.955628 -63.991622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11684348--1.11686450) × R
    2.10199999999272e-05 × 6371000     		dl = 133.918419999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11684348--1.11686450) × R
    2.10199999999272e-05 × 6371000     		dr = 133.918419999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22607042-0.22611836) × cos(-1.11684348) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.438521456121332 × 6371000     		do = 133.935740241725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22607042-0.22611836) × cos(-1.11686450) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.438502564914921 × 6371000     		du = 133.929970381028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11684348)-sin(-1.11686450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438521456121332-0.438502564914921)×R²
    abs(0.22611836-0.22607042)×1.88912064107427e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.88912064107427e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.88912064107427e-05×40589641000000     		ar = 17936.0763697991m²