Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70252 / 96052
↖ ↑ ↗
← S 63.922888°
E 12.952881°		 ← 134.26 m → S 63.922888°
E 12.955628°		 →
↑
134.30 m
↓
↑
134.30 m
↓
S 63.924096°
E 12.952881°		 ← 134.25 m →
18 031 m²		 S 63.924096°
E 12.955628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535984039306641 y=0.732822418212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535984039306641 × 217)
    floor (0.535984039306641 × 131072)
    floor (70252.5)     		tx = 70252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732822418212891 × 217)
    floor (0.732822418212891 × 131072)
    floor (96052.5)     		ty = 96052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70252 / 96052 ti = "17/70252/96052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70252/96052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70252 ÷ 217
    70252 ÷ 131072     		x = 0.535980224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96052 ÷ 217
    96052 ÷ 131072     		y = 0.732818603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535980224609375 × 2 - 1) × π
    0.07196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22607042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732818603515625 × 2 - 1) × π
    -0.46563720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46284242880563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22607042} λ = 0.22607042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46284242880563))-π/2
    2×atan(0.231577096929551)-π/2
    2×0.227565731156762-π/2
    0.455131462313524-1.57079632675     		φ = -1.11566486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22607042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.952881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11566486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.922888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70252 KachelY 96052 0.22607042 -1.11566486 12.952881 -63.922888
    Oben rechts KachelX + 1 70253 KachelY 96052 0.22611836 -1.11566486 12.955628 -63.922888
    Unten links KachelX 70252 KachelY + 1 96053 0.22607042 -1.11568594 12.952881 -63.924096
    Unten rechts KachelX + 1 70253 KachelY + 1 96053 0.22611836 -1.11568594 12.955628 -63.924096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11566486--1.11568594) × R
    2.10800000000066e-05 × 6371000     		dl = 134.300680000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11566486--1.11568594) × R
    2.10800000000066e-05 × 6371000     		dr = 134.300680000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22607042-0.22611836) × cos(-1.11566486) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.439580401506141 × 6371000     		do = 134.2591694195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22607042-0.22611836) × cos(-1.11568594) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.439561467284055 × 6371000     		du = 134.253386420708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11566486)-sin(-1.11568594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439580401506141-0.439561467284055)×R²
    abs(0.22611836-0.22607042)×1.89342220856537e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89342220856537e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89342220856537e-05×40589641000000     		ar = 18030.7094196106m²