Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7025 / 5399
↖ ↑ ↗
← N 52.173932°
W 25.642090°		 ← 1 498.34 m → N 52.173932°
W 25.620117°		 →
↑
1 498.59 m
↓
↑
1 498.59 m
↓
N 52.160454°
W 25.642090°		 ← 1 498.80 m →
2 245 735 m²		 N 52.160454°
W 25.620117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428802490234375 y=0.329559326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428802490234375 × 214)
    floor (0.428802490234375 × 16384)
    floor (7025.5)     		tx = 7025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329559326171875 × 214)
    floor (0.329559326171875 × 16384)
    floor (5399.5)     		ty = 5399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7025 / 5399 ti = "14/7025/5399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7025/5399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7025 ÷ 214
    7025 ÷ 16384     		x = 0.42877197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5399 ÷ 214
    5399 ÷ 16384     		y = 0.32952880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.1424560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44753889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32952880859375 × 2 - 1) × π
    0.3409423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07110208511053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44753889} λ = -0.44753889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07110208511053))-π/2
    2×atan(2.91859426746378)-π/2
    2×1.24070160926103-π/2
    2.48140321852206-1.57079632675     		φ = 0.91060689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44753889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.642090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91060689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.173932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7025 KachelY 5399 -0.44753889 0.91060689 -25.642090 52.173932
    Oben rechts KachelX + 1 7026 KachelY 5399 -0.44715540 0.91060689 -25.620117 52.173932
    Unten links KachelX 7025 KachelY + 1 5400 -0.44753889 0.91037167 -25.642090 52.160454
    Unten rechts KachelX + 1 7026 KachelY + 1 5400 -0.44715540 0.91037167 -25.620117 52.160454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91060689-0.91037167) × R
    0.00023521999999998 × 6371000     		dl = 1498.58661999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91060689-0.91037167) × R
    0.00023521999999998 × 6371000     		dr = 1498.58661999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44753889--0.44715540) × cos(0.91060689) × R
    0.000383490000000042 × 0.61326649456762 × 6371000     		do = 1498.34176973923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44753889--0.44715540) × cos(0.91037167) × R
    0.000383490000000042 × 0.613452272249651 × 6371000     		du = 1498.79566451962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91060689)-sin(0.91037167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61326649456762-0.613452272249651)×R²
    abs(-0.44715540--0.44753889)×0.000185777682031874×R²
    0.000383490000000042×0.000185777682031874×6371000²
    0.000383490000000042×0.000185777682031874×40589641000000     		ar = 2245735.03899469m²