Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70245 / 97725
↖ ↑ ↗
← S 65.871357°
E 12.933655°		 ← 124.85 m → S 65.871357°
E 12.936402°		 →
↑
124.81 m
↓
↑
124.81 m
↓
S 65.872479°
E 12.933655°		 ← 124.85 m →
15 582 m²		 S 65.872479°
E 12.936402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535930633544922 y=0.745586395263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535930633544922 × 217)
    floor (0.535930633544922 × 131072)
    floor (70245.5)     		tx = 70245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745586395263672 × 217)
    floor (0.745586395263672 × 131072)
    floor (97725.5)     		ty = 97725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70245 / 97725 ti = "17/70245/97725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70245/97725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70245 ÷ 217
    70245 ÷ 131072     		x = 0.535926818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97725 ÷ 217
    97725 ÷ 131072     		y = 0.745582580566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535926818847656 × 2 - 1) × π
    0.0718536376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22573486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745582580566406 × 2 - 1) × π
    -0.491165161132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.54304086186999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22573486} λ = 0.22573486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54304086186999))-π/2
    2×atan(0.213730188280061)-π/2
    2×0.210562135755356-π/2
    0.421124271510712-1.57079632675     		φ = -1.14967206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22573486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.933655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14967206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.871357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70245 KachelY 97725 0.22573486 -1.14967206 12.933655 -65.871357
    Oben rechts KachelX + 1 70246 KachelY 97725 0.22578280 -1.14967206 12.936402 -65.871357
    Unten links KachelX 70245 KachelY + 1 97726 0.22573486 -1.14969165 12.933655 -65.872479
    Unten rechts KachelX + 1 70246 KachelY + 1 97726 0.22578280 -1.14969165 12.936402 -65.872479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14967206--1.14969165) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dl = 124.807889999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14967206--1.14969165) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dr = 124.807889999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22573486-0.22578280) × cos(-1.14967206) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408786750720043 × 6371000     		do = 124.853995840855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22573486-0.22578280) × cos(-1.14969165) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.40876887222124 × 6371000     		du = 124.848535287128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14967206)-sin(-1.14969165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408786750720043-0.40876887222124)×R²
    abs(0.22578280-0.22573486)×1.7878498802637e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.7878498802637e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.7878498802637e-05×40589641000000     		ar = 15582.4230194896m²