Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70245 / 96874
↖ ↑ ↗
← S 64.897920°
E 12.933655°		 ← 129.57 m → S 64.897920°
E 12.936402°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
S 64.899085°
E 12.933655°		 ← 129.57 m →
16 782 m²		 S 64.899085°
E 12.936402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535930633544922 y=0.739093780517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535930633544922 × 217)
    floor (0.535930633544922 × 131072)
    floor (70245.5)     		tx = 70245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739093780517578 × 217)
    floor (0.739093780517578 × 131072)
    floor (96874.5)     		ty = 96874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70245 / 96874 ti = "17/70245/96874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70245/96874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70245 ÷ 217
    70245 ÷ 131072     		x = 0.535926818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96874 ÷ 217
    96874 ÷ 131072     		y = 0.739089965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535926818847656 × 2 - 1) × π
    0.0718536376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22573486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739089965820312 × 2 - 1) × π
    -0.478179931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50224656029332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22573486} λ = 0.22573486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50224656029332))-π/2
    2×atan(0.222629447441634)-π/2
    2×0.219056974072168-π/2
    0.438113948144336-1.57079632675     		φ = -1.13268238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22573486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.933655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13268238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.897920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70245 KachelY 96874 0.22573486 -1.13268238 12.933655 -64.897920
    Oben rechts KachelX + 1 70246 KachelY 96874 0.22578280 -1.13268238 12.936402 -64.897920
    Unten links KachelX 70245 KachelY + 1 96875 0.22573486 -1.13270271 12.933655 -64.899085
    Unten rechts KachelX + 1 70246 KachelY + 1 96875 0.22578280 -1.13270271 12.936402 -64.899085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13268238--1.13270271) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dl = 129.522429999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13268238--1.13270271) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dr = 129.522429999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22573486-0.22578280) × cos(-1.13268238) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42423229872843 × 6371000     		do = 129.571463771022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22573486-0.22578280) × cos(-1.13270271) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424213888740179 × 6371000     		du = 129.565840886737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13268238)-sin(-1.13270271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42423229872843-0.424213888740179)×R²
    abs(0.22578280-0.22573486)×1.84099882504785e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84099882504785e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84099882504785e-05×40589641000000     		ar = 16782.0467019626m²